XXXII - II - Zadanie 1

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_1, x_2, \ldots, x_{1981} $, $ y_1, y_2, \ldots, y_{1981} $ takich, że $ \sum_{j=1}^{1981} x_j = 0 $, $ \sum_{j=1}^{1981} y_j = 0 $ zachodzi nierówność

\[<br />
\sqrt{\sum_{j=1}^{1981} (x_j^2+y_j^2)} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{j=1}^{1981} \sqrt{x_j^2+y_j^2}.<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ wszystkie liczby występujące pod znakami pierwiastków są dodatnie, więc podnosząc obie strony do kwadratu otrzymamy nierówność równoważną

\[<br />
\sum_{j=1}^{1981} (x_j^2 + y_j^2) \leq \frac{1}{2} \left(<br />
\sum_{j=1}^{1981} (x_j^2 + y_j^2) + 2 \sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} \sqrt{x_i^2 + y_i^2} \cdot \sqrt{x_j^2 + y_j^2} \right),<br />
\]
\[<br />
(*) \qquad<br />
\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{1981} (x_j^2 + y_j^2) \leq 2 \sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} \sqrt{x_i^2 + y_i^2} \cdot \sqrt{x_j^2 + y_j^2}.<br />
\]

Ponieważ $ 0= \left( \sum_{j=1}^{1981} x_j \right)^2 =\sum_{j=1}^{1981} x_j^2 +<br />
2 \cdot \sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} x_i x_j $, więc

\[<br />
\sum_{j=1}^{1981} x_j^2 =-2 \sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} x_i x_j<br />
\]

i analogicznie

\[<br />
\sum_{j=1}^{1981} y_j^2 =-2 \sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} y_i y_j,<br />
\]

a stąd

\[<br />
\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{1981} (x_j^2 + y_j^2) = -\sum_{1 \leq i \leq j \leq 1981} \sqrt{x_ix_j + y_iy_j}.<br />
\]

Aby więc udowodnić nierówność (*) wystarczy stwierdzić, że dla każdej pary liczb $ i $, $ j $ jest

\[<br />
|-(x_ix_j + y_iy_j)| \leq \sqrt{x_i^2 + y_i^2} \cdot \sqrt{x_j^2 + y_j^2}, \ \textrm{tj.}<br />
\]
\[<br />
x_i^2x_j^2 + y_i^2y_j^2 + 2|x-ix_jy_iy_j| \leq (x_i^2 + y_i^2)(x_j^2 + y_j^2).<br />
\]

Przekształcimy dalej równoważnie

\[<br />
x_i^2x_j^2 + y_i^2y_j^2 + 2|x-ix_jy_iy_j| \leq<br />
x_i^2x_j^2 + x_i^2y_j^2 + y_i^2x_j^2 + y_i^2y_j^2,<br />
\]
\[<br />
2 |x_ix_jy_iy_j| \leq x_i^2y_j^2 + y_i^2x_j^2,<br />
\]
\[<br />
x_i^2y_j^2 + y_i^2x_j^2 - 2 |x_ix_jy_iy_j| \geq 0,<br />
\]
\[<br />
(|x_iy_j| - |x_jy_i|)^2 \geq 0.<br />
\]

Ostatnia nierówność jest spełniona dla każdych $ x_i $, $ y_i $, $ x_j $, $ y_j $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź