XXXII - II - Zadanie 2

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie $ P $. Prosta styczna do jednego z okręgów w punkcie $ A $ przecina drugi okrąg w punktach $ B $ i $ C $. Udowodnić, że prosta $ PA $ jest dwusieczną kąta $ BPC $.

Rozwiązanie

om32_2r_img_11.jpg
Rozważmy jednokładność o środku $ P $ i skali równej stosunkowi długości promienia większego okręgu do długości promienia mniejszego (rys. 11). Jednokładność ta przekształca okrąg mniejszy na większy, a styczną $ BC $ na prostą $ B_1C_1 $ styczną do większego okręgu w punkcie $ A_1 $. Proste $ BC $ i $ B_1C_1 $ są równoległe, więc średnica dużego okręgu przechodząca przez $ A_1 $ jest ich wspólną osią symetrii. Symetria ta przekształca łuk $ BA_1 $ na łuk $ CA_1 $, skąd wynika, że łuki te mają równe długości. Wobec tego kąty $ BPA_1 $ i $ CPA_1 $ mają równe miary, a wobec tego prosta $ PA $ jest dwusieczną kąta $ BPC $.

Uwaga. Zadanie to było już dane na zawodach stopnia drugiego w XVIII Olimpiadzie Matematycznej.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź