XXXII - II - Zadanie 3

Udowodnić, że nie istnieje funkcja ciągła $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełniająca Warunek $ f(f(x)) = - x $ dla każdego $ x $.

Rozwiązanie

Funkcja $ f $ spełniająca zadany warunek musiałaby być różnowartościowa, bo jeśli dla pewnych $ x_1 $, $ x_2 $ byłoby $ f(x_1) = f (x_2) $, to $ ff(x_1) = ff (x_2) $, skąd wynikałoby, że $ -x_1 =-x_2 $, więc $ x_1 = x_2 $. Funkcja ciągła i różnowartościowa musi być monotoniczna. Gdyby $ f $ była funkcją rosnącą, to $ ff $ byłaby też funkcją rosnącą; gdyby $ f $ była funkcją malejącą, to $ ff $ byłaby rosnąca (dla $ x_1 < x_2 $ jest $ f(x_1) > f (x_2) $, więc $ ff (x_1) < ff (x_2) $). W każdym przypadku otrzymujemy sprzeczność, bo funkcja $ g(x)= - x $ jest funkcją malejącą. Wobec tego nie istnieje funkcja ciągła $ f $ spełniająca warunek $ ff (x) = -x $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź