XXXII - II - Zadanie 4

Dane są liczby naturalne $ k, n $. Określamy indukcyjnie dwa ciągi liczb $ (a_j) $ i $ (r_j) $ w sposób następujący:
Krok pierwszy: dzielimy $ k $ przez $ n $ i otrzymujemy iloraz $ a_1 $ i resztę $ r_i $,
krok j-ty: dzielimy $ k+r_{j-1} $ przez $ n $ i otrzymujemy iloraz $ a_j $ i resztę $ r_j $. Obliczyć sumę $ a_1 + \ldots + a_n $.

Rozwiązanie

Zgodnie z określeniem

\[<br />
\begin{split}<br />
k & = a_1n+r_1 \\<br />
k+r_1 & = a_2n+r_2 \\<br />
k+r_2 & = a_3n+r_3\\<br />
\vdots & = \vdots \\<br />
k+r_{n-1} & = a_nn+r_n<br />
\end{split}<br />
\]

Dodając te równości otrzymamy

\[<br />
nk+r_1 + r_2+ \ldots + r_{n-1} = n(a_1 + a_2+ \ldots + a_n) + r_1 + r_2+ \ldots + r_n,<br />
\]

więc

\[<br />
nk= n(a_1 + a_2+ \ldots + a_n) + r_n,<br />
\]

Liczba $ r_n $ jako reszta z dzielenia $ k+r_{n-1} $ przez $ n $ spełnia warunek $ 0 \leq r_n < n $, z ostatniej równości wynika natomiast, że $ r_n $ jest liczbą podzielną przez $ n $. Wobec tego $ r_n = 0 $ i

\[<br />
nk = n(a_1 + a_2+ \ldots + a_n).<br />
\]

więc

\[<br />
a_1 + a_2+ \ldots + a_n = k.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź