XXXII - II - Zadanie 6

Pola powierzchni podstaw danego ostrosłupa trójkątnego ściętego równe są $ B_1 $ i $ B_2 $. Ostrosłup ten można tak przeciąć płaszczyzną równoległą do podstaw, że w każdą z otrzymanych części można wpisać kulę. Udowodnić, że pole powierzchni bocznej danego ostrosłupa równe jest $ (\sqrt{B_1} + \sqrt{B_2})(\sqrt[4]{B_1} + \sqrt[4]{B_2})^2 $.

Rozwiązanie

Wyprowadzimy najpierw wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa ściętego opisanego na kuli. Wzór ten następnie zastosujemy do każdej z części otrzymanych z danego ostrosłupa ściętego w wyniku przekroju. Objętość $ V $ ostrosłupa trójkątnego ściętego o polach podstaw $ Q_1 $ i $ Q_2 $, w który wpisano kulę o promieniu $ r $ jest równa sumie objętości pięciu ostrosłupów mających wspólny wierzchołek w środku kuli. Dwa z tych ostrosłupów mają podstawy odpowiednio $ Q_1 $ i $ Q_2 $, podstawy pozostałych trzech tworzą powierzchnię boczną $ P $ ostrosłupa ściętego. Wobec tego

\[<br />
(1) \qquad V= \frac{1}{3}(Q_1 + Q_2+P)r.<br />
\]

Z drugiej strony ostrosłup ścięty o podstawach $ Q_1 $ i $ Q_2 $ oraz wysokości $ h $ ma objętość równą różnicy dwóch ostrosłupów podobnych mających podstawy odpowiednio $ Q_1 $ i $ Q_2 $ oraz wysokości $ h_1 $ i $ h_2 $ spełniające warunek

\[<br />
h_1 - h_2 = h<br />
\]

(zakładamy, że $ Q_1 > Q_2 $ oraz $ h_1 > h_2 $).
Wobec tego

\[<br />
\frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt{Q_1}}{\sqrt{Q_2}},<br />
\]
\[<br />
h_1 = \sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}h_2,<br />
\]
\[<br />
\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}h_2 - h_2 = h,<br />
\]
\[<br />
h_2 = \frac{h}{\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}} - 1},<br />
\]
\[<br />
h_1 = \frac{h}{\sqrt{1-\frac{Q_2}{Q_1}}},<br />
\]

Ponieważ

\[<br />
V = \frac{1}{3}Q_1h_1 - \frac{1}{3} Q_2h_2,<br />
\]

więc

\[<br />
V = \frac{1}{3}Q_1 \cdot \frac{h}{1-\sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}} - \frac{1}{3} Q_2 \cdot \frac{h}{\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}} - 1},<br />
\]
\[<br />
V = \frac{1}{3}h \cdot \left( \frac{Q_1}{1-\sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}} - \frac{Q_2}{ \sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}} - 1} \right),<br />
\]
\[<br />
V = \frac{1}{3}h \cdot \left( \frac{Q_1 \left( 1+ \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}} \right)}{1-\frac{Q_2}{Q_1}} - \frac{Q_2 \left( \sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}+1 \right)}{ \frac{Q_1}{Q_2} - 1} \right),<br />
\]
\[<br />
V = \frac{h}{3} \cdot \left( \frac{Q_1^2 \left( 1+ \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}} \right)}{Q_1-Q_2} - \frac{Q_2^2 \left( \sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}+1 \right)}{ Q_1-Q_2} \right),<br />
\]
\[<br />
V = \frac{h}{3} \cdot \frac{Q_1^2 + Q_1\sqrt{Q_1Q_2} -Q_2 \sqrt{Q_1Q_2}-Q_2^2} { Q_1-Q_2},<br />
\]
\[<br />
V = \frac{h}{3} \cdot (Q_1 + Q_2 + \sqrt{Q_1Q_2}).<br />
\]

Porównując wzory (1) i (2) oraz uwzględniając fakt, że $ h=2r $ otrzymujemy

\[<br />
\frac{2r}{3} (Q_1+Q_2+ \sqrt{Q_1Q_2})= \frac{r}{3}(Q_1+Q_2+P),<br />
\]
\[<br />
Q_1 + Q_2 + P=2(Q_1 + Q_2+ \sqrt{Q_1Q_2}),<br />
\]
\[<br />
P = Q_1 + Q_2 + 2\sqrt{Q_1Q_2},<br />
\]
\[<br />
P = (\sqrt{Q_1} + \sqrt{Q_2})^2.<br />
\]

Dany w zadaniu ostrosłup ścięty jest sumą dwóch podobnych ostrosłupów ściętych opisanych na kulach, przy czym podstawy jednego z nich mają pola $ B_1 $, $ C $, podstawy drugiego - $ C $, $ B_2 $. Stąd

\[<br />
\frac{C}{B_1} = \frac{B_2}{C},<br />
\]
\[<br />
C = \sqrt{B_1B_2}.<br />
\]

Wobec tego pole powierzchni bocznej $ P_b $ wynosi

\[<br />
P_b = (\sqrt{B_1} + \sqrt[4]{B_1B_2})^2 + (\sqrt[4]{B_1B_2} + \sqrt{B_2})^2,<br />
\]
\[<br />
P_b = (\sqrt[4]{B_1} (\sqrt[4]{B_1} + \sqrt[4]{B_2}))^2 +<br />
 (\sqrt[4]{B_2} (\sqrt[4]{B_1} + \sqrt[4]{B_2}))^2,<br />
\]
\[<br />
P_b = (\sqrt{B_1}+\sqrt{B_2}) (\sqrt[4]{B_1} + \sqrt[4]{B_2})^2.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź