XXXII - III - Zadanie 1

W przestrzeni dane są dwie przecinające się proste $ a $ i $ b $. Rozważamy wszystkie pary płaszczyzn $ \alpha $ i $ \beta $ prostopadłych i takich, że $ a\subset \alpha $, $ b\subset \beta $. Dowieść, że istnieje taki okrąg, że przez każdy jego punkt przechodzi prosta $ \alpha \cap \beta $ dla pewnych $ \alpha, \beta $.

Rozwiązanie

Rozróżnimy dwa przypadki.

1. Jeśli proste $ a $ i $ b $ są prostopadłe, to rozważmy płaszczyznę $ \alpha $ prostopadłą do prostej $ b $ zawierającą prostą $ a $ i weźmy pod uwagę dowolny okrąg zawarty w tej płaszczyźnie. Dla dowolnego punktu $ A $ tego okręgu poprowadźmy płaszczyznę $ \beta $ zawierającą prostą $ b $ i punkt $ A $. Oczywiście prosta $ \alpha \cap \beta $ spełnia warunki zadania.

2. Załóżmy, że proste $ a $ i $ b $ nie są prostopadłe, niech $ A $ będzie punktem ich przecięcia. Poprowadźmy płaszczyznę $ \gamma $ prostopadłą do prostej $ a $ i przecinającą ją w punkcie $ B $ różnym od $ A $. Prosta $ b $ nie jest równoległa do tej płaszczyzny (w przeciwnym przypadku byłaby prostopadła do $ a $), niech $ C $ będzie punktem wspólnym prostej $ b $ i płaszczyzny $ \gamma $. Pokażemy, że okrąg $ k $ o średnicy $ \overline{BC} $ spełnia wymagania zadania. Dla punktu $ B $ przyjmijmy jako $ \alpha $ płaszczyznę wyznaczoną przez proste $ a $ i $ b $, jako $ \beta $ - płaszczyznę do niej prostopadłą przecinającą ją wzdłuż prostej $ a $; dla punktu $ C $ jako $ \alpha $ również płaszczyznę wyznaczoną przez $ a $ i $ b $, jako $ \beta $ płaszczyznę do niej prostopadłą przecinającą $ \alpha $ wzdłuż prostej $ b $.

Niech $ X $ będzie punktem okręgu $ k $ różnym od $ B $ i $ C $ (rys. 13). Rozważmy płaszczyzny $ \alpha = ABX $ i $ \beta = ACX $. Płaszczyzna $ \alpha $ zawiera prostą $ a $ prostopadłą do płaszczyzny $ \gamma $, więc jest prostopadła do $ \gamma $. Prosta $ CX $ zawarta w płaszczyźnie $ \gamma $ jest prostopadła do prostej $ BX $ (bo kąt $ BCX $ jest kątem wpisanym opartym na średnicy), a więc do krawędzi przecięcia płaszczyzn prostopadłych $ \alpha $ i $ \gamma $. Wynika stąd, że prosta $ CX $ jest prostopadła do płaszczyzny $ \alpha $. Wobec tego płaszczyzna $ \beta $ zawierająca prostą $ BX $ jtst prostopadła do płaszczyzny $ \alpha $. Istotnie więc płaszczyzny $ \alpha $ i $ \beta $ są prostopadłe, $ a \subset \alpha $, $ b \subset \beta $, prosta $ \alpha \cap \beta $ przechodzi przez punkt $ X $.

Dla dowolnego punktu okręgu o średnicy $ \overline{BC} $ wskazaliśmy więc płaszczyzny $ \alpha $ i $ \beta $ mające wymagane własności.
om32_3r_img_13.jpg
om32_3r_img_14.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź