- LX OM
- LIX OM
- LVIII OM
- LVII OM
- LVI OM
- LV OM
- LIV OM
- LIII OM
- LII OM
- LI OM
- L OM
- XLIX OM
- XLVIII OM
- XLVIII OM - I etap
- XLVIII OM - I - Zadanie 1
- XLVIII OM - I - Zadanie 2
- XLVIII OM - I - Zadanie 3
- XLVIII OM - I - Zadanie 4
- XLVIII OM - I - Zadanie 5
- XLVIII OM - I - Zadanie 6
- XLVIII OM - I - Zadanie 7
- XLVIII OM - I - Zadanie 8
- XLVIII OM - I - Zadanie 9
- XLVIII OM - I - Zadanie 10
- XLVIII OM - I - Zadanie 11
- XLVIII OM - I - Zadanie 12
- XLVIII OM - II etap
- XLVIII OM - III etap
- XLVIII OM - I etap
- XLVII OM
- XLVI OM
- XLV OM
- XLIV OM
- XLIII OM
- XLII OM
- XLI OM
- XL OM
- XXXIX OM
- XXXVIII OM
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVIII OM - I - Zadanie 1
- XXXVIII OM - I - Zadanie 2
- XXXVIII OM - I - Zadanie 3
- XXXVIII OM - I - Zadanie 4
- XXXVIII OM - I - Zadanie 5
- XXXVIII OM - I - Zadanie 6
- XXXVIII OM - I - Zadanie 7
- XXXVIII OM - I - Zadanie 8
- XXXVIII OM - I - Zadanie 9
- XXXVIII OM - I - Zadanie 10
- XXXVIII OM - I - Zadanie 11
- XXXVIII OM - I - Zadanie 12
- XXXVIII OM - II etap
- XXXVIII OM - III etap
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVII OM
- XXXVII OM - I etap
- XXXVII OM - I - Zadanie 1
- XXXVII OM - I - Zadanie 2
- XXXVII OM - I - Zadanie 3
- XXXVII OM - I - Zadanie 4
- XXXVII OM - I - Zadanie 5
- XXXVII OM - I - Zadanie 6
- XXXVII OM - I - Zadanie 7
- XXXVII OM - I - Zadanie 8
- XXXVII OM - I - Zadanie 9
- XXXVII OM - I - Zadanie 10
- XXXVII OM - I - Zadanie 11
- XXXVII OM - I - Zadanie 12
- XXXVII OM - II etap
- XXXVII OM - III etap
- XXXVII OM - I etap
- XXXVI OM
- XXXV OM
- XXXIV OM
- XXXIII OM
- XXXIII OM - I etap
- XXXIII OM - I - Zadanie 1
- XXXIII OM - I - Zadanie 2
- XXXIII OM - I - Zadanie 3
- XXXIII OM - I - Zadanie 4
- XXXIII OM - I - Zadanie 5
- XXXIII OM - I - Zadanie 6
- XXXIII OM - I - Zadanie 7
- XXXIII OM - I - Zadanie 8
- XXXIII OM - I - Zadanie 9
- XXXIII OM - I - Zadanie 10
- XXXIII OM - I - Zadanie 11
- XXXIII OM - I - Zadanie 12
- XXXIII OM - II etap
- XXXIII OM - III etap
- XXXIII OM - I etap
- XXXII OM
- XXXI OM
- XXX OM
- XXIX OM
- XXVIII OM
- XXVII OM
- XXVI OM
- XXV OM
- XXIV OM
- XXIII OM
- XXII OM
- XXI OM
- XX OM
- XIX OM
- XVIII OM
- XVII OM
- XVI OM
- XV OM
- XIV OM
- XIII OM
- XII OM
- XI OM
- X OM
- IX OM
- VIII OM
- VII OM
- V OM
- VI OM
- IV OM
- III OM
- II OM
- I OM
- Skład komitetów Olimpiady
- Zawody stopnia I (przygotowawcze)
- Zadania z pierwszej olimpiady matematycznej
- I OM - B
- I OM - B - Zadanie 1
- I OM - B - Zadanie 2
- I OM - B - Zadanie 3
- I OM - B - Zadanie 4
- I OM - B - Zadanie 5
- I OM - B - Zadanie 6
- I OM - B - Zadanie 7
- I OM - B - Zadanie 8
- I OM - B - Zadanie 9
- I OM - B - Zadanie 10
- I OM - B - Zadanie 11
- I OM - B - Zadanie 12
- I OM - B - Zadanie 13
- I OM - B - Zadanie 14
- I OM - B - Zadanie 15
- I OM - B - Zadanie 16
- I OM - B - Zadanie 17
- I OM - B - Zadanie 18
- I OM - B - Zadanie 19
- I OM - B - Zadanie 20
- I OM - I etap
- I OM - II etap
- I OM - III etap
- I OM - B
XXXII - III - Zadanie 1
W przestrzeni dane są dwie przecinające się proste i
. Rozważamy wszystkie pary płaszczyzn
i
prostopadłych i takich, że
,
. Dowieść, że istnieje taki okrąg, że przez każdy jego punkt przechodzi prosta
dla pewnych
.
Rozwiązanie
Rozróżnimy dwa przypadki.
1. Jeśli proste i
są prostopadłe, to rozważmy płaszczyznę
prostopadłą do prostej
zawierającą prostą
i weźmy pod uwagę dowolny okrąg zawarty w tej płaszczyźnie. Dla dowolnego punktu
tego okręgu poprowadźmy płaszczyznę
zawierającą prostą
i punkt
. Oczywiście prosta
spełnia warunki zadania.
2. Załóżmy, że proste i
nie są prostopadłe, niech
będzie punktem ich przecięcia. Poprowadźmy płaszczyznę
prostopadłą do prostej
i przecinającą ją w punkcie
różnym od
. Prosta
nie jest równoległa do tej płaszczyzny (w przeciwnym przypadku byłaby prostopadła do
), niech
będzie punktem wspólnym prostej
i płaszczyzny
. Pokażemy, że okrąg
o średnicy
spełnia wymagania zadania. Dla punktu
przyjmijmy jako
płaszczyznę wyznaczoną przez proste
i
, jako
- płaszczyznę do niej prostopadłą przecinającą ją wzdłuż prostej
; dla punktu
jako
również płaszczyznę wyznaczoną przez
i
, jako
płaszczyznę do niej prostopadłą przecinającą
wzdłuż prostej
.
Niech będzie punktem okręgu
różnym od
i
(rys. 13). Rozważmy płaszczyzny
i
. Płaszczyzna
zawiera prostą
prostopadłą do płaszczyzny
, więc jest prostopadła do
. Prosta
zawarta w płaszczyźnie
jest prostopadła do prostej
(bo kąt
jest kątem wpisanym opartym na średnicy), a więc do krawędzi przecięcia płaszczyzn prostopadłych
i
. Wynika stąd, że prosta
jest prostopadła do płaszczyzny
. Wobec tego płaszczyzna
zawierająca prostą
jtst prostopadła do płaszczyzny
. Istotnie więc płaszczyzny
i
są prostopadłe,
,
, prosta
przechodzi przez punkt
.
Dla dowolnego punktu okręgu o średnicy wskazaliśmy więc płaszczyzny
i
mające wymagane własności.
Komentarze
Dodaj nową odpowiedź