XXXII - III - Zadanie 2

Symetralne boków $ \overline{AB} $ i $ \overline{AC} $ trójkąta $ ABC $ przecinają prostą zawierającą bok $ \overline{BC} $ w punktach $ X $ i $ Y $. Dowieść, że $ BC = XY $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \tan B \cdot \tan C= 3 $ lub $ \tan B\cdot \tan C=-1 $.

Rozwiązanie

Niech $ M $, $ N $, będą odpowiednio środkami boków $ \overline{AB} $ i $ \overline{AC} $ (rys. 14).

\[<br />
\overrightarrow{BX} = \frac{BM}{\cos B} \cdot \frac{\overrightarrow{BC}}{BC}  = \frac{AB}{2 \cos \beta \cdot BC} \cdot \overrightarrow{BC},\<br />
\overrightarrow{CY} = \frac{CN}{\cos C} \cdot \frac{\overrightarrow{CB}}{BC} = -\frac{AC}{2 \cos C \cdot BC} \cdot \overrightarrow{BC},<br />
\]

(jeśli $ B = \frac{\pi}{2} $ lub $ C = \frac{\pi}{2} $, to jedna z symetralnych nie przecina prostej $ BC $, więc przypadku tego można nie rozpatrywać). Wobec tego

\[<br />
\overrightarrow{XY}= - \overrightarrow{BX}+\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CY}=<br />
-\frac{AB}{2 \cos B \cdot BC} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} -<br />
\frac{AC}{2 \cos C \cdot BC} \overrightarrow{BC},<br />
\]
\[<br />
\overrightarrow{XY}= \left(<br />
-\frac{AB}{2 \cos B \cdot BC} +1 -  \frac{AC}{2 \cos C \cdot BC}  \right) \cdot \overrightarrow{BC},<br />
\]

i równość $ BC = XY $ ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
(*) \qquad<br />
1 = \left| -\frac{AB}{2 \cos B \cdot BC} + 1 - \frac{AC}{2 \cos C \cdot BC} \right|.<br />
\]

Z twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkąta $ ABC $ wynika

\[<br />
AB = \frac{BC}{\sin A} \cdot \sin C, \<br />
AC = \frac{BC}{\sin A} \cdot \sin B,<br />
\]

więc równość (*) jest równoważna równości

\[<br />
1 = \left| -\frac{\frac{BC}{\sin A} \cdot \sin C}{2 \cos B \cdot BC} + 1 - \frac{\frac{BC}{\sin A} \cdot \sin B}{2 \cos C \cdot BC} \right|, \textrm{tj.}<br />
\]
\[<br />
1 = \left|1 - \frac{\sin C}{2 \sin A \cdot \cos B} - \frac{\sin B}{2 \sin A \cdot \cos C} \right|,<br />
\]
\[<br />
1 = \left|1 - \frac{\sin C \cdot \cos C + \sin B \cdot \cos B}{2 \sin A \cos B \cos C} \right|.<br />
\]

Ponieważ $ A = \pi - (B+C) $, więc $ \sin A = \sin(B+ C)= \sin B\cos C+\cos B\sin C $, wobec czego równość (*) jest równoważna równości

\[<br />
1 = \left|1 - \frac{\sin C \cdot \cos C + \sin B \cdot \cos B}{2 (\sin B \cos C + \cos B \sin C) \cos B \cos C} \right|.<br />
\]

Dzielimy licznik i mianownik przez $ \cos^2B \cos^2 C $:

\[<br />
1 = \left|1 - \frac{\tan C \cdot \frac{1}{\cos^ B} + \tan B \cdot \frac{1}{\cos^2 B}}{2 (\tan B + \tan C)} \right|<br />
\]

i przekształcamy dalej równoważnie stosując zależność $ \frac{1}{\cos^2 x} = \tan^2 x +1 $.

\[<br />
1 = \left|1 -<br />
\frac{\tan C (\tan^2 B +1) + \tan B (\tan^2 C +1)}<br />
{2 (\tan B + \tan C)} \right|,<br />
\]
\[<br />
1 = \left|1 -<br />
\frac{\tan B \tan C (\tan B +\tan C) + (\tan B +\tan C)}<br />
{2 (\tan B + \tan C)} \right|,<br />
\]
\[<br />
1 = \left|1 -<br />
\frac{(\tan B \tan C+1) (\tan B +\tan C)}{2 (\tan B + \tan C)} \right|,<br />
\]
\[<br />
1 = \left|1 - \frac{(\tan B \tan C+1)}{2} \right|,<br />
\]
\[<br />
1 = \left|\frac{1}{2} - \frac{(\tan B \tan C)}{2} \right|,<br />
\]
\[<br />
2 = \left|1- \tan B \tan \right|.<br />
\]

Ostatnia równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $ 2= 1-\tan B \tan C $ albo $ 2=-(1-\tan B \tan C) $, tj.

\[<br />
\tan B \tan C = - 1 \ \textrm{albo}\ \tan B \tan C = 3.<br />
\]

Pierwszy z tych przypadków ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $ \overrightarrow{BX} = \overrightarrow{CY} $, to zaś jest możliwe tylko wtedy, gdy jeden z kątów $ B $ lub $ C $ jest rozwarty, drugi przypadek może mieć miejsce tylko dla trójkąta ostrokątnego.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź