XXXII - III - Zadanie 3

Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej $ n $ oraz liczb rzeczywistych $ \alpha $, $ x $ spełniających nierówności $ \alpha^{n-1} \leq x \leq 1 $, $ 0 < \alpha <1 $ zachodzi nierówność

\[<br />
\prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k} \right|\leq \prod_{k=1}^n \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}}<br />
\]

Rozwiązanie

Istnieje liczba całkowita $ m \geq 0 $, dla której

\[<br />
\alpha^{m+1} < x \leq \alpha^m.<br />
\]

Wobec tego dla $ k= 1,2,\ldots,n $ jest

\[<br />
\alpha^k-x \geq \alpha^k - \alpha^m,<br />
\]
\[<br />
x+\alpha^k \leq \alpha^k + \alpha^m,<br />
\]

więc

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{\alpha^k-x}{x+\alpha^k} \geq \frac{\alpha^k - \alpha^m}{\alpha^k + \alpha^m},<br />
\]

natomiast

\[<br />
(2) \qquad<br />
\frac{\alpha^k-x}{x+\alpha^k} \geq \frac{\alpha^k - \alpha^{m+1}}{\alpha^k + \alpha^{m+1}}.<br />
\]

Ponieważ

\[<br />
\prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k} \right|=<br />
\prod_{k=1}^m \frac{\alpha^k-x}{x+\alpha^k} \cdot<br />
\prod_{k=m+1}^n \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k},<br />
\]

więc na mocy (1) i (2)

\[<br />
\begin{split}<br />
\prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k} \right| &\leq<br />
\prod_{k=1}^m \frac{\alpha^k-\alpha^{m+1}}{\alpha^k+\alpha^{m+1}} \cdot<br />
\prod_{k=m+1}^n \frac{\alpha^m-\alpha^k}{\alpha^m+\alpha^k}=\\<br />
&=\prod_{k=1}^m \frac{1-\alpha^{m+1-k}}{1+\alpha^{m+1-k}} \cdot<br />
\prod_{k=m+1}^n \frac{1-\alpha^{k-m}}{1+\alpha^{k-m}}=\\<br />
&=\prod_{k=1}^m \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}} \cdot<br />
\prod_{k=m+1}^n \frac{1-\alpha^{k-m}}{1+\alpha^{k-m}}.<br />
\end{split}<br />
\]

Ponieważ

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{1-\alpha^{k-m}}{1+\alpha^{k-m}}-<br />
\frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}}&=<br />
\frac{1+\alpha^{k}-\alpha^{k-m}-\alpha^{m}-1-\alpha^{k-m}+\alpha^{k}+\alpha^{m}}<br />
{(1+\alpha^{k-m})(1+\alpha^{k})}=\\<br />
&=\frac{2\alpha^{k}-2\alpha^{k-m}}{(1+\alpha^{k-m})(1+\alpha^{k})} \leq 0<br />
\end{split}<br />
\]

więc

\[<br />
\frac{1-\alpha^{k-m}}{1+\alpha^{k-m}} \leq \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}}<br />
\]

skąd wynika, że

\[<br />
\prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^{k}}{x+\alpha^{k}} \right| \leq<br />
\prod_{k=1}^m \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}} \cdot<br />
\prod_{k=m+1}^n \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}} =<br />
\prod_{k=1}^n \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź