XXXII - III - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych $ (x,y) $ spełniające równanie

\[<br />
x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1).<br />
\]

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeśli para liczb całkowitych $ (x, y) $ jest rozwiązaniem danego równania, to liczby $ x $ i $ y $ są tej samej parzystości, gdyż w przeciwnym razie lewa strona równania przyjmowałaby wartość nieparzystą, prawa zaś - wartość podzielną przez $ 8 $. Ponadto sprawdzamy bezpośrednio, że żadna para liczb równych nie jest rozwiązaniem, gdyż jeśli $ x = y $, to równanie przyjmuje postać $ 4x^3 = 24x^2 + 8 $, tj. $ x^3 -6x^2-2 = 0 $. Ewentualnymi rozwiązaniami całkowitymi mogłyby być ewentualnie dzielniki wyrazu wolnego, tj. liczby $ 1, - 1, 2, - 2 $. Przez podstawienie sprawdzamy, że żadna z tych liczb nie spełnia równania. Wobec tego, jeśli para $ (x, y) $ liczb całkowitych jest rozwiązaniem równania, to $ x \ne y $, skąd wynika, że

\[<br />
x^2+y^2 > 2|xy|,<br />
\]

natomiast z faktu, że $ x $ i $ y $ są liczbami tej samej parzystości wynika, że $ |x| -|y| = 2k $, zatem

\[<br />
x^2 + y^2-2|xy| = 4k^4<br />
\]

i wobec tego

\[<br />
(*) \qquad x^2 + y^2 \geq 2|xy| + 4 > |2xy+2|.<br />
\]

Dane równanie możemy przekształcić równoważnie

\[<br />
(x^2+y^2)(x + y)= 8(x^2 + y^2) + 8xy + 8,<br />
\]
\[<br />
(**) \qquad (x^2 + y^2)(x+y-8)= 8xy+8.<br />
\]

Biorąc po obu stronach wartość bezwzględną stwierdzamy, że

\[<br />
|x^2 + y^2| \cdot |x + y-8| = |8xy + 8|,<br />
\]
\[<br />
(x^2 + y^2) \cdot |x+y-8| = 4|2xy+2|,<br />
\]

więc wobec nierówności (*) otrzymujemy

\[<br />
|x+y-8| < 4,<br />
\]
\[<br />
-4 < x+y-8 < 4,<br />
\]
\[<br />
4 < x+y < 12.<br />
\]

Jeśli więc liczby $ x $, $ y $ spełniają dane równanie, to $ x+y = 6 $ lub $ x+y= 8 $ lub $ x+y = 10 $, tj. a) $ y= 6-x $ lub b) $ y= 8 -x $ lub c) $ y= 10-x $. Podstawiając do równania (**) otrzymujemy kolejno
a)

\[<br />
(x^2+(6-x)^2)(-2)= 8x(6-x)+8,<br />
\]
\[<br />
x^2 + 36 - 12x + x^2= -4x(6-x)-4,<br />
\]
\[<br />
2x^2-12x+36 = -24x+4x^2-4,<br />
\]
\[<br />
-2x^2+12x+40 = 0,<br />
\]
\[<br />
x^2-6x-20=0.<br />
\]

Równanie to nie ma rozwiązań całkowitych, bo jego wyróżnik $ \Delta = 36+80 = 116 $.

b)

\[<br />
(x^2+(8-x)^2) \cdot 0 = 8x(8-x)+8,<br />
\]
\[<br />
x(8-x)+1=0,<br />
\]
\[<br />
8x-x^2+1 = 0,<br />
\]
\[<br />
x^2-8x-1 = 0.<br />
\]

To równanie również nie ma rozwiązań całkowitych, bo $ \Delta = 64+4 = 68 $.

c)

\[<br />
x^2+(10-x)^2-2 = 8x(10-x)+8,<br />
\]
\[<br />
x^2+100-20x+x^2 = 4x(10-x)+4,<br />
\]
\[<br />
2x^2-20x+ 100 = 40x-4x^2 + 4,<br />
\]
\[<br />
6x^2-60x+96 = 0,<br />
\]
\[<br />
x^2-10x+16 = 0.<br />
\]

Równanie to ma dwa pierwiastki całkowite $ x_1 = 2 $, $ x_2 = 8 $.

Przeprowadzone tu rozumowanie pokazuje, że jeśli dane równanie ma rozwiązania w liczbach całkowitych, to mogą to być jedynie rozwiązania $ x_1 = 2 $, $ y_1 = 10-2= 8 $ lub $ x_2 = 8 $, $ y_2 = 10-8 = 2 $. Sprawdzamy przez podstawienie, że istotnie pary $ (2,8) $ oraz $ (8,2) $ stanowią rozwiązania równania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź