I OM - B - Zadanie 8

Dowieść, że wysokości trójkąta ostrokątnego są dwusiecznymi kątów trójkąta, którego wierzchołkami są spodki tych wysokości.

Rozwiązanie

Niech $ S $ będzie punktem przecięcia wysokości $ AM $, $ BN $ i $ CP $ trójkąta ostrokątnego $ ABC $ (rys. 3).

om1_Br_img_3.jpg

Czworokąt $ SMCN $, w którym kąty przy wierzchołkach $ M $ i $ N $ są proste, jest czworokątem wpisanym w okrąg o średnicy $ SC $; zatem

\[<br />
\measuredangle SMN = \measuredangle SCN<br />
\]

(kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe).

Podobnie też, w czworokącie $ SMBP $ mamy

\[<br />
\measuredangle SMP = \measuredangle SBP<br />
\]

Lecz $ \measuredalngle SCN = \measuredangle SBP $, gdyż każdy z tych kątów równa się
$ 90^{\circ} - \measuredangle BAC $; zatem $ \measuredangle SMN = \measuredangle SMP $.

Istotnie więc wysokość $ AM $ jest dwusieczną kąta $ NMP $.

Uwaga. W trójkącie rozwartokątnym (rys. 4) wysokość $ AM $ poprowadzona z wierzchołka kąta
rozwartego $ A $ jest dwusieczną kąta $ NMP $, a pozostałe dwie wysokości są dwusiecznymi kątów zewnętrznych
trójkąta $ MNP $; uzasadnienie jest analogiczne do poprzedniego.

om1_Br_img_4.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź