XXXI - I - Zadanie 1

Zbadać dla jakich wartości parametru $ a $ romb o boku długości $ a $ jest przekrojem sześcianu o krawędzi długości 2 płaszczyzną przechodzącą przez środek sześcianu.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że romb $ KLMN $ jest przekrojem sześcianu $ ABCDA_1B_1C_1D_1 $ płaszczyzną przechodzącą przez środek sześcianu $ O $. Ponieważ $ O $ jest też środkiem symetrii przekroju, więc przeciwległe wierzchołki rombu leżą na przeciwległych krawędziach sześcianu. Niech np. jak na rysunku $ K \in \overline{AB} $, $ L \in \overline{A_1B_1} $, $ M \in \overline{C_1D_1} $, $ N \in \overline{CD} $. Ponieważ $ O $ jest środkiem symetrii sześcianu, więc $ AK = MC_1 $, $ A_1L = NC $. Przypuśćmy, że $ K $ nie jest środkiem krawędzi $ \overline{AB} $. Odwzorujmy ściany sąsiednie $ ABB_1A_1 $ i $ A_1B_1C_1D_1 $ na siatkę sześcianu.
om31_1r_img_6.jpgom31_1r_img_7.jpg
Trapezy prostokątne $ AKLA_1 $ i $ LB_1C_1M $ są przystające, gdyż są sumami przystających prostokątów i przystających trójkątów prostokątnych. Wynika stąd, że $ A_1L = B_1L $, tzn. $ L $ jest środkiem odcinka $ \overline{A_1B_1} $ i wobec tego $ N $ jest środkiem $ \overline{CD} $. Wykazaliśmy w ten sposób, że pewne dwa przeciwległe wierzchołki rombu są środkami krawędzi sześcianu, na których leżą. Bok rombu jest więc odcinkiem łączącym środek krawędzi z pewnym punktem przeciwległego) boku ściany, która jest kwadratem o boku długości $ 2 $. Długość takiego odcinka jest nie mniejsza od $ 2 $ i nie większa od $ \sqrt{5} $, przy czym każdą wartość z przedziału $ [2, \sqrt{5}] $ możemy osiągnąć obierając właściwie punkt $ K $ na boku $ \overline{AB} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź