XXXI - I - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $ a, b, x, y, \alpha $ prawdziwa jest nierówność

\[<br />
\frac{a^{\alpha+1}}{x^{\alpha}} + \frac{b^{\alpha+1}}{y^{\alpha}} \leq<br />
\frac{(a+b)^{\alpha+1}}{(x+y)^{\alpha}}<br />
\]

Rozwiązanie

Daną nierówność dzielimy obustronnie przez liczbę dodatnią $ \displaystyle \frac{(a+b)^{\alpha+1}}{(x+y)^\alpha} $, otrzymamy równoważną nierówność

\[<br />
\frac{a^{\alpha+1}(x+y)^{\alpha}}{(a+b)^{\alpha+1} x^\alpha} +<br />
\frac{b^{\alpha+1}(x+y)^{\alpha}}{(a+b)^{\alpha+1} y^\alpha} \geq 1.<br />
\]

Przyjmując

\[<br />
t = \frac{x}{x+t}, \ c = \frac{a}{a+b}<br />
\]

przekształcimy tę nierówność do równoważnej postaci

\[<br />
(*) \qquad \frac{c^{\alpha+1}}{t^\alpha} + \frac{(1-c)^{\alpha+1}}{(1-t)^\alpha} \geq 1.<br />
\]

Dla udowodnienia prawdziwości nierówności (*) rozważmy funkcję

\[<br />
f(t) = \frac{c^{\alpha+1}}{t^\alpha} + \frac{(1-c)^{\alpha+1}}{(1-t)^\alpha}<br />
\]

określoną w przedziale $ (0, 1) $. Obliczmy pochodną tej funkcji.

\[<br />
f'(t) = -\alpha \frac{c^{\alpha+1}}{t^{\alpha+1}} - \alpha \frac{(1-c)^{\alpha+1}}{(1-t)^{\alpha+1}} \cdot (-1),<br />
\]
\[<br />
f'(t) = \alpha \left[ \frac{(1-c)^{\alpha+1}}{(1-t)^{\alpha+1}} -  \frac{(c)^{\alpha+1}}{(t)^{\alpha+1}} \right].<br />
\]

Pochodna ta przyjmuje wartość $ 0 $, gdy $ \displaystyle \left( \frac{1-c}{1-t} \right)^{\alpha+1}= \left( \frac{c}{t} \right)^{\alpha+1} $, a więc, gdy $ \displaystyle \frac{1-c}{1-t} = \frac{c}{t} $, a zatem gdy $ (1-c)t=(1-t)c $, $ t-ct=c-tc $, $ t=c $. Jedynym miejscem zerowym pochodnej jest $ t = c $. Ponieważ $ \displaystyle \lim_{t \to 0} f(t) = +\infty $ oraz $ \displaystyle \lim_{t \to 1} f(t) = + \infty $, więc dla $ t = c $ funkcja $ f(t) $ przyjmuje minimum. Ponadto

\[<br />
f(c) = \frac{c^{\alpha+1}}{c^\alpha} + \frac{(1-c)^{\alpha+1}}{(1-c)^\alpha} = c+(1-c)=1,<br />
\]

więc dla każdego $ t \in (0, 1) $ jest $ f(t) \geq 1 $, a zatem

\[<br />
\frac{c^{\alpha+1}}{t^\alpha} + \frac{(1-c)^{\alpha+1}}{(1-t)^\alpha} \geq 1,<br />
\]

ponieważ zaś ta nierówność, jak stwierdziliśmy wyżej, jest równoważna nierówności danej, więc

\[<br />
\frac{a^{\alpha+1}}{x^\alpha} + \frac{b^{\alpha+1}}{y^\alpha} \geq \frac{(a+b)^{\alpha+1}}{(x+y)^\alpha}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź