XXXI - I - Zadanie 3

W okrąg $ k $ wpisany jest trójkąt $ ABC $. Na okręgu $ k $ wybrano takie punkty $ A', B', C' $, że proste $ AA', BB', CC' $ zawierają środkowe trójkąta $ ABC $. Wykazać, że pole trójkąta $ A'B'C' $ jest nie mniejsze od pola trójkąta $ ABC $.

Rozwiązanie

Oznaczmy $ AB = c $, $ BC = a $, $ CA = b $, $ \measuredangle BAC = \alpha $, $ \measuredangle ABC = \beta $, $ \measuredangle BCA = \gamma $. Niech $ C_1 $ będzie środkiem boku $ \overline{AB} $.

Stosując dla środkowej $ \overline{CC_1} $ dowiedziony na s. 32 lemat otrzymamy

\[<br />
CC_1 = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}.<br />
\]

Ponieważ $ \measuredangle B'A'C' = \measuredangle B'A'A + \measuredangle AA'C' $ oraz $ \measuredangle B'A'A = \measuredangle ABB' $ jako kąty wpisane w koło oparte na tym samym łuku i $ \measuredangle AA'C' = \measuredangle ACC' $, więc $ \measuredangle B'A'C' = \measuredangle ABB' + \measuredangle ACC' $. Wyliczymy $ \sin \measuredangle ACC' $ stosując twierdzenie sinusów do trójkąta $ ACC_1 $.

\[<br />
\sin \measuredangle ACC' = \frac{c}{2} \cdot \frac{\sin \alpha}{CC_1} =<br />
\frac{c}{2} \cdot \frac{\sin \alpha}{\frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}=<br />
\frac{c \cdot \sin \alpha}{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}.<br />
\]

om31_1r_img_8.jpg
Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do tego samego trójkąta wyliczamy

\[<br />
\begin{split}<br />
\cos \measuredangle ACC' = \frac{b^2 + CC_1^2 - \left( \frac{c}{2} \right)^2}{2b \cdot CC_1} = \frac{b^2 + \frac{1}{2}(a^2+b^2-\frac{1}{2}c^2 - \frac{c^4}{4})}{2b \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}= \\<br />
\frac{\frac{1}{2} a^2 + \frac{3}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2}{b \cdot \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}} = \frac{a^2+3b^2-c^2}{2b \cdot \sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}.<br />
\end{split}<br />
\]

Analogiczne rachunki pozwalają wyliczyć $ \displaystyle \sin \measuredangle ABB' = \frac{b \cdot \sin \alpha}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}} $,
$ \displaystyle \cos \measuredangle ABB' = \frac{a^2+3c^2-b^2}{2c \cdot \sqrt{2a^2+2c^2-b^2}} $.

Otrzymujemy stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
& \sin \measuredangle B'A'C' = \sin (\measuredangle ABB' + \measuredangle ACC') =<br />
\sin \measuredangle ABB' \cdot \cos \measuredangle ACC' + \\<br />
& + \cos \measuredangle ABB' \cdot \sin \measuredangle ACC' =<br />
\frac{b \cdot \sin \alpha}{\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}} \cdot  \frac{a^2 + 3b^2 - c^2}{2b \cdot \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}} +\\<br />
& + \frac{c \sin \alpha}{2a^2 + 2b^2 - c^2} \cdot<br />
\frac{a^2 + 3c^2 - b^2}{2c \cdot \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}} =<br />
\frac{(a^2 + 3b^2 - c^2 + a^2 + 3c^2 - b^2) \cdot \sin \alpha}{2 \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \cdot \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}}=\\<br />
& \frac{(a^2+b^2+c^2) \cdot \sin \alpha}{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \cdot \sqrt{2a^2+2c^2-b^2}},<br />
\end{split}<br />
\]

Stosując analogiczne rachunki otrzymamy

\[<br />
\sin \measuredangle A'B'C' = \frac{(a^2+b^2+c^2) \cdot \sin \beta}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \cdot \sqrt{2b^2+2c^2-a^2}},<br />
\]
\[<br />
\sin \measuredangle B'C'A' = \frac{(a^2+b^2+c^2) \cdot \sin \gamma}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2} \cdot \sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}.<br />
\]

Ponieważ pole $ S' $ trójkąta $ A'B'C' $ równe jest $ \frac{a'b'c'}{4r} $, gdzie $ a' $, $ b' $, $ c' $ są długościami boków oraz

\[<br />
\frac{a'}{\sin \measuredangle B'A'C'} = \frac{b'}{\sin \measuredangle A'B'C'}=<br />
\frac{c'}{\sin \measuredangle A'C'B'} = 2r,<br />
\]

więc $ S' = 2r^2 $

\[<br />
\begin{split}<br />
& \sin \measuredangle B'A'C' \cdot \sin \measuredangle A'B'C' \cdot \sin \measuredangle A'C'B' =\\<br />
&\qquad = 2r^2 \cdot \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^3 \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma}{(2a^2 + 2b^2 - c^2)(2a^2 + 2c^2 - b^2)(2b^2 + 2c^2 - a^2)}.<br />
\end{split}<br />
\]

Z nierówności dla średniej arytmetycznej i średniej geometrycznej otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
& \sqrt{(2a^2 + 2b^2 - c^2) (2a^2 + 2c^2 - b^2) (2b^2 + 2c^2 - a^2)} < \\<br />
 &\qquad < \frac{1}{3} [(2a^2 + 2b^2 -<br />
- c^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) + (2b^2 + 2c^2 - a^2)] = a^2 + b^2 + c^2, \\<br />
\end{split}<br />
\]
\[<br />
(2a^2 + 2b^2 - c^2)(2a^2 + 2c^2 - b^2) (2b^2 + 2c^2 - a^2) \leq (a^2 + b^2 + c^2)^3,<br />
\]

skąd wynika, że $ S' \geq 2r^2 \cdot \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma = S_{\Delta ABC} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź