XXXI - I - Zadanie 4

Udowodnić, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych przyjmuje wartość 1 dla czterech różnych argumentów całkowitych, to dla żadnego argumentu całkowitego nie przyjmuje wartości -1.

Rozwiązanie

Liczby całkowite $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, dla których dany wielomian $ w(x) $ przyjmuje wartość $ 1 $ są pierwiastkami wielomianu $ w(x) - 1 $. Ten ostatni wielomian jest więc podzielny przez $ x-a $, $ x-b $, $ x-c $, $ x-d $ a wobec tego w $ w(x) -1 = (x - a) (x - b) (x - c) (x - d) \cdot v (x) $, gdzie $ v (x) $ jest pewnym wielomianem o współczynnikach całkowitych. Gdyby było $ w(k) = - 1 $ dla pewnego całkowitego $ k $, to byłoby $ w(k) - 1 = -2 $, więc $ (k - a) (k - b) (k - c) (k - d) \cdot v(k) = -2 $. Ostatnia równość przedstawia liczbę $ -2 $ w postaci iloczynu liczb całkowitych $ k - a $, $ k - b $, $ k - c $, $ k - d $, $ v(k) $, wśród których pierwsze cztery są parami różne. Wobec tego co najwyżej jedna z liczb $ k-a $, $ k-b $, $ k-c $, $ k-d $ jest równa $ 1 $, co najwyżej jedna z nich jest równa $ -1 $, co najmniej dwie mają wartość bezwzględną większą od $ 1 $. To prowadzi jednak do sprzeczności z faktem, że $ 2 $ jest liczbą pierwszą. Nie może więc być $ w(k) = -1 $ dla żadnego całkowitego $ k $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź