I OM - B - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli suma trzech liczb naturalnych jest podzielna przez 3, to suma sześcianów tych liczb jest
także podzielna przez 3.

Rozwiązanie

Sposób I

Niech $ a, b, c $ będą liczbami naturalnymi, których suma podzielna jest przez 3. W tym celu wykażemy, że różnica
$ (a^3 + b^3 + c^3) - (a + b + c) $ jest podzielna przez 3. Otóż

\[<br />
\begin{split}<br />
(a^3 &+ b^3 + c^3) - (a + b + c) = (a^3- a) + (b^3 - b) + (c^3- c) \\<br />
&= (a - 1) a (a + 1) + (b -1) b (b + 1) + (c - 1) c (c + 1)<br />
\end{split}<br />
\]

Każdy z trzech składników po prawej stronie równości jest
podzielny przez 3, ponieważ jest iloczynem trzech kolejnych liczb
całkowitych. Suma ich jest więc też podzielna przez 3. Stąd
wniosek, że jeśli $ a + b + c $ dzieli się przez 3, to i $ a^3 + b^3 + c^3 $
dzieli się przez 3.

Sposób II

Ponieważ

\[<br />
\begin{split}<br />
(a + b + c)^3 &= (a + b)^3 + 3 (a + b)^2 c + 3 (a + b) c^2+ c^3 = \\<br />
&= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + 3 (a + b)^2 c + 3 (a + b) c^2 + c^3,<br />
\end{split}<br />
\]

więc

\[<br />
a^3 + b^3 + c^3= (a + b +c)^3 - 3a^2b - 3ab^2- 3 (a + b)^2c - 3 (a + b) c^2<br />
\]

Jeżeli $ a + b + c $ dzieli się przez 3, to każdy składnik prawej
strony równości jest podzielny przez 3, zatem suma tych składników
jest też podzielna przez 3.

Uwaga. Ogólniej: jeśli suma liczb całkowitych $ a_1 + a_2 + \dots + a_n $
jest podzielna przez 3, to suma $ a_1^3 + a_2^3 + \dots + a_n^3 $
jest też podzielna przez 3.

Możemy tego dowieść zupełnie tak samo, jak wyżej w sposobie I. Sposób II byłby tu mniej dogodny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź