XXXI - I - Zadanie 6

Udowodnić, że dla różnych liczb całkowitych $ a, b, c $ i dowolnej liczby naturalnej $ n $ liczba

\[<br />
\frac{a^n}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^n}{(b - a)(b - c)} + \frac{c^n}{(c - a)(c - b)}<br />
\]

jest całkowita.

Rozwiązanie

Przedstawmy rozważaną liczbę w postaci

\[<br />
\frac{a^n(b - c)+ b^n(c - a) + c^n(a - b)}{(a - b) (a - c) (b - c)}.<br />
\]

Licznik tego ułamka jest wartością w punkcie $ (a, b, c) $ wielomianu trzech zmiennych $ f(x, y, z) = x^n(y - z) +y^n (z - x) + z^n (x- y) $. Ponieważ

\[<br />
\begin{split}<br />
f(x,y, z)&=x^ny - x^nz + y^nz - xy^n + z^n(x - y) =\\<br />
&= xy(x^{n-1} - y^{n-1}) - z(x^n -y^n) + z^n(x-y) =\\<br />
&= xy(x-y)(x^{n-2} + x^{n-3}y + \ldots + xy^{n-3} + y^{n-2})+\\<br />
&\quad-z(x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y+ \ldots + xy^{n-2} +y^{n-1}) + z^n(x-y) =\\<br />
&= (x-y)[xy(x^{n-2} + x^{n-3}y + \ldots + xy^{n-3} + y^{n-2})+\\<br />
&\quad -z(x^{n-1} + x^{n-2}y + \ldots + xy^{n-2} +y^{n-1}) +z^n],<br />
\end{split}<br />
\]

więc wielomian $ f(x,y, z) $ dzieli się przez $ x- y $. Podobnie stwierdzamy, że $ f(x,y, z) $ dzieli się przez $ x - z $ oraz przez $ y - z $. Wobec tego wielomian ten dzieli się przez $ (x-y)(x - z)(y - z) $. Wynika stąd, że wartość tego wielomianu w punkcie o współrzędnych całkowitych $ (a, b, c) $ dzieli się przez wartość wielomianu $ (x - y) (x - z) (y - z) $ w tym punkcie, tj. przez liczbę $ (a - b)(a - c)(b - c) $. Wobec tego

\[<br />
\frac{a^n(b - c) + b^n(c - a) + c^n(a - b)}{ (a - b) (a - c) (b - c)}<br />
\]

jest liczbą całkowitą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź