XXXI - I - Zadanie 7

Na sferze o promieniu długości 1 obrano 13 punktów. Dowieść, że wśród tych punktów istnieją takie dwa, których odległość jest mniejsza od $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $.

Rozwiązanie

Rozważmy dwunastościan foremny wpisany w kulę ograniczoną daną sferą. Spośród promieni kuli łączących dane punkty ze środkiem pewne dwa przecinają jedną ścianę dwunastościanu. Kąt utworzony przez te promienie jest niewiększy od kąta utworzonego przez promienie przechodzące przez dwa niesąsiednie wierzchołki ściany dwunastościanu, a wobec tego odległość wymienionych dwóch punktów nie przekracza długości przekątnej ściany dwunastościanu. Wybierzmy po jednej przekątnej na każdej ścianie dwunastościanu tak jak na rys. 2. Z symetrii dwunastościanu wynika, że przekątne te są krawędziami sześcianu wpisanego w dwunastościan (a więc sześcianu wpisanego w kulę opisaną na dwunastościanie). Ponieważ przekątna sześcianu o krawędzi długości $ a $ ma długość $ a\sqrt{3} $, przy czym przekątna sześcianu jest średnicą kuli opisanej na nim, więc krawędź sześcianu wpisanego w rozważany dwunastościan ma długość $ a $ spełniającą $ \displaystyle a\sqrt{3} =2 $, tj. $ a = \frac{2\sqrt{3}}{3} $. Liczba ta jest jednocześnie długością przekątnej ściany dwunastościanu, a więc, jak stwierdziliśmy, wielkością, której nie przekracza odległość pewnych dwóch spośród trzynastu punktów na sferze.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź