XXXI - I - Zadanie 8

Znaleźć wszystkie podzbiory $ S $ zbioru liczb wymiernych spełniające następujące warunki.
1. Jeśli $ a \in S $, $ b \in S $, to $ a + b \in S $.
2. Jeśli $ a $ jest liczbą wymierną różną od 0, to dokładnie jedna z liczb $ a $ i $ -a $ , należy do $ S $.

Rozwiązanie

Z warunku 2 wynika, że do zbioru $ S $ należy liczba $ 1 $ albo liczba $ -1 $. Rozpatrzmy kolejno te dwa przypadki.

Załóżmy, że $ 1 \in S $. Każda liczba naturalna $ n $ jest sumą $ n $ składników, z których każdy równy jest $ 1 $, więc na mocy warunku 1 liczba $ n $ należy do $ S $. Wykażemy, że każda liczba wymierna dodatnia należy do $ S $. Gdyby dla pewnych $ m $, $ n $ naturalnych $ \frac{m}{n} \not \in S $, to na mocy warunku 2 liczba $ -\frac{m}{n} $ byłaby elementem $ S $, a stąd na mocy warunku 1 liczba $ -m = \left( - \frac{m}{n} \right) + \left( - \frac{m}{n} \right) + \ldots + \left( - \frac{m}{n} \right) $ należałaby do $ S $. Wynikałoby stąd, że liczba naturalna $ m $ nie należy do $ S $ wbrew temu, co stwierdziliśmy wyżej. Wobec tego wszystkie liczby wymierne dodatnie należą do $ S $; warunek 2 zapewnia, że żadna liczba wymierna ujemna nie należy do $ S $. Mamy więc w tym przypadku dwie możliwości: $ S $ jest zbiorem liczb wymiernych dodatnich lub $ S $ jest zbiorem liczb wymiernych nieujemnych. Każdy z tych zbiorów oczywiście spełnia warunki zadania.

Jeśli natomiast $ - 1 \in S $, to dokładnie tak samo stwierdzamy, że wszystkie liczby wymierne ujemne należą do $ S $, liczby zaś dodatnie nie należą do $ S $. W tym przypadku mamy również dwie możliwości: $ S $ jest zbiorem liczb wymiernych ujemnych lub $ S $ jest zbiorem liczb wymiernych niedodatnich.

Ostatecznie zbiór $ S $ może być zbiorem liczb wymiernych dodatnich, zbiorem liczb wymiernych nieujemnych, zbiorem liczb wymiernych ujemnych lub zbiorem liczb wymiernych niedodatnich.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź