XXXI - I - Zadanie 12

Niech $ D $ będzie obszarem na płaszczyźnie ograniczonym półprostą $ \{(x,y) : x \geq 0, y = 0\} $ i parabolą o równaniu $ y = x^2 $ tzn. $ D = \{(x,y) : x > 0, 0 < y < x^2\} $. W obszarze $ D $ porusza się bez tarcia kula bilardowa (traktujemy ją jako punkt materialny) odbijając się od brzegu obszaru $ D $ zgodnie z regułą „kąt padania równa się kątowi odbicia". Udowodnić, że kula odbije się od brzegu obszaru D tylko skończoną liczbę razy.

Uwaga. Kula odbija się od paraboli w taki sposób, w jaki odbija się od stycznej do paraboli w tym punkcie.

Rozwiązanie

om31_1r_img_11.jpgom31_1r_img_12.jpg
Niech $ A_1, A_2, \ldots $ będą kolejnymi punktami odbicia kuli od prostej o równaniu $ y = 0 $, $ B_1, B_2, \ldots $ - kolejnymi punktami odbicia kuli od paraboli o równaniu $ y = x^2 $. Dla prześledzenia toru kuli przeprowadźmy następującą konstrukcję. Budujemy trójkąt $ KL_1M_1 $ w którym $ KL_1 = OA_1 $ $ KM_1 = OB_1 $, $ L_1M_1 = A_1B_1 $, następnie budujemy trójkąt $ KM_1L_2 $, w którym $ KL_2 = OA_2 $, $ M_1L_2 = B_1A_2 $, przy czym punkty $ L_1 $, $ L_2 $ leżą po przeciwnych stronach prostej $ KM_1 $, następnie budujemy trójkąt $ KL_2M_2 $ itd. przy czym $ KL_i = OA_i $, $ KM_i = OB_i $, $ L_iM_i = A_iB_i $, $ M_iL_{i+1} = B_iA_{i+1} $, punkty $ L_i $, $ L_{i+1} $ leżą po przeciwnych stronach prostej $ KM_1 $, punkty $ M_i $, $ M_{i+1} $ leżą po przeciwnych stronach prostej $ KL_{i+1} $. Trójkąty $ KL_iM_i $ są przystające do trójkątów $ OA_iB_i $ (dla
$ 1 = 1, 2, \ldots $), trójkąty $ KM_iL_{i+1} $ są przystające do trójkątów $ OB_iA_{i+1} $ ($ i = 1, 2, \ldots $). Wynika stąd, że kąty $ KL_{i+1}M_i $ oraz $ OB_{i+1}A_i $ są równe oraz kąty $ KM_iL_i $ oraz $ OB_iA_i $ są równe dla $ i = 1, 2, \ldots $. Z zasady odbijania kuli od prostej wynika, że $ \measuredangle OA_{i+1}B_i = \pi - \measuredangle OA_{i+1}B_{i+1} $, więc $ \measuredangle KL_{i+1} M_i = \measuredangle OA_{i+1}B_i = \pi - \measuredangle OA_{i+1}B_{i+1} =\pi - \measuredangle KL_{i+1}M_{i+1} $. Ponieważ parabola jest krzywą wypukłą i wobec tego odcinek siecznej $ \overline{OB_i} $ leży nad styczną do paraboli w punkcie $ B_i $ więc $ \measuredangle OB_iA_i > \pi - \measuredangle OB_iA_{i+1} $. Wobec tego $ \measuredangle KM_iL_i =\measuredangle 0B_iA_i > \pi - \measuredangle OB_iA_{i+1} = \pi- \measuredangle KM_iL_{i+1} $. Wynika stąd, że (*) wszystkie punkty $ M_j $, $ L_j $ leżą w tej samej półpłaszczyźnie o krawędzi $ L_iM_i $, która nie zawiera punktu $ K $. Wobec tego odległości punktów $ L_i $ oraz $ M_j $ od punktu $ K $ są większe od pewnej liczby i w konsekwencji każdy z kątów $ L_iKM_i $, $ M_iKL_{i+1} $ jest większy od pewnego kąta $ \alpha $. Istnieje więc liczba naturalna $ n $, dla której $ 2n \alpha > \pi $. Gdyby kula mogła odbić się $ 2n $ razy od brzegu obszaru $ D $ to łamana $ L_1M_1L2\ldots M_n $ przecinałaby oba ramiona kąta $ L_1KM $ o mierze $ 2n \alpha $. Nie jest to możliwe wobec (*). Zatem kula odbije się od brzegu obszaru mniej niż $ 2n $ razy.
om31_1r_img_13.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź