XXXI - II - Zadanie 1

Uczniowie $ A $ i $ B $ grają według następujących reguł: uczeń $ A $ obiera na płaszczyźnie wektor $ \overrightarrow{a_1} $ o długości 1, następnie uczeń $ B $ podaje liczbę $ s_1 $, równą $ 1 $ lub $ -1 $; potem uczeń $ A $ obiera wektor $ \overrightarrow{a_1} $ o długości $ 1 $, a z kolei uczeń $ B $ podaje liczbę $ s_2 $ równą $ 1 $ lub $ -1 $ itd. Wygrywa $ B $, jeśli dla pewnego $ n $ wektor $ \sum_{j=1}^n \varepsilon_j \overrightarrow{a_j} $ ma długość większą od ustalonej przed rozpoczęciem gry liczby $ R $. Udowodnić, że uczeń $ B $ może doprowadzić do wygranej w nie więcej niż $ R^2 + 1 $ krokach niezależnie od postępowania partnera $ A $.

Rozwiązanie

Wykażemy przez indukcję, że uczeń $ B $ może tak wybrać liczby $ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n $, aby długość wektora $ \overrightarrow{\omega_n} = \sum_{k=1}^n \varepsilon_k \overrightarrow{a_k} $, była nie mniejsza od $ \sqrt{n} $.

Dla $ n = 1 $ wektor ma długość $ 1 $ niezależnie od tego, czy $ \varepsilon_1 = 1 $, czy też $ \varepsilon_1 = - 1 $.

Załóżmy, że dla pewnego $ n \geq 1 $ długość wektora $ \overrightarrow{\omega_n} = \sum_{k=1}^n \varepsilon_k \overrightarrow{a_k} $, jest $ \geq \sqrt{n} $. Jeśli $ \overrightarrow{a_{n+1}} $ jest kolejnym wektorem o długości $ 1 $ podanym przez gracza $ A $, to gracz $ B $ powinien przyjąć $ \varepsilon_{n+1} = 1 $, jeśli wektory $ \overrightarrow{a_{n+1}} $ oraz $ \overrightarrow{w_n} $ tworzą kąt o mierze $ \leq \frac{\pi}{2} $, natomiast $ \varepsilon_{n+1} = - 1 $, jeżeli ten kąt ma miarę $ > \frac{\pi}{2} $ (wtedy wektory $ \overrightarrow{w_n} $ i $ - \overrightarrow{a_{n+1}} $ tworzą kąt o mierze $ < \frac{\pi}{2} $). Dzięki takiemu wyborowi $ cos \measuredangle (\overrightarrow{\omega_n}, \varepsilon_{n+1} \overrightarrow{a_{n+1}}) \geq 0 $. Wobec tego

\[<br />
\begin{split}<br />
w_{n+1}^2 = (\overrightarrow{ \omega_n} +  \varepsilon_{n+1} \overrightarrow{a_{n+1}} )^2 = &<br />
\overrightarrow{ w_n^2} + \overrightarrow{a_{n+1}}^2<br />
+ 2 \overrightarrow{w_n} \cdot \varepsilon_{n+1} \cdot \overrightarrow{a_{n+1}} ^2 \geq \\<br />
& \geq n+1+ 2\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \cos \measuredangle (\overrightarrow{\omega_n}, \varepsilon_{n+1} \overrightarrow{a_{n+1}} \geq n+1,<br />
\end{split}<br />
\]

a zatem

\[<br />
\omega_{n+1} \geq \sqrt{n+1}.<br />
\]

Stąd na mocy zasady indukcji wynika, że gracz $ B $ może tak dobierać liczby $ \varepsilon_k $, by dla każdej liczby naturalnej $ n $ było $ \omega_n \geq \sqrt{n} $.
om31_2r_img_14.jpg
Dla dowolnej liczby rzeczywistej nieujemnej $ R $ liczba $ [R^2 + 1] $ jest najmniejszą liczbą naturalną większą od $ R^2 $, zatem po $ n = [R^2 + 1] $ krokach
gracz $ B $ może spowodować, by długość wektora $ \omega_n $ była większa lub równa $ \sqrt{[R^2 + 1]} > \sqrt{R^2} = R $. Jeśli ustalona z góry liczba $ R $ jest ujemna, uczeń $ B $ wygrywa już w pierwszym kroku, $ R^2 + 1 > 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź