XXXI - II - Zadanie 3

Dana jest w przestrzeni kula $ K $ i punkty $ A, B $ poza kulą takie, że odcinek $ AB $ przecina wnętrze kuli. Udowodnić, że zbiór tych punktów $ P $, dla których odcinki $ AP $ i $ BP $ są styczne do kuli $ K $, zawarty jest w pewnej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ O $ środek kuli $ K $, przez $ r $ długość jej promienia. Mamy

\[<br />
\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = (\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{RP} \cdot (\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{RA}) = \overrightarrow{OR}^2 + \overrightarrow{RP} \cdot \overrightarrow{RA},<br />
\]

ponieważ wektor $ \overrightarrow{OR} $ jest prostopadły do $ \overrightarrow{RP} $ i do $ \overrightarrow{RA} $. Wektory $ \overrightarrow{RP} $ i $ \overrightarrow{RA} $ są równoległe, więc

\[<br />
(*) \qquad \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} = r^2 + RP \cdot d_1.<br />
\]

om31_2r_img_16.jpg
Analogicznie

\[<br />
(**) \qquad \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} = r^2 + SP \cdot d_2.<br />
\]

Mnożąc równość (*) przez $ d_2 $, równość (**) przez - $ d_1 $ i dodając stronami otrzymamy

\[<br />
(***) \qquad \overrightarrow{OP} \cdot (d_2 \cdot \overrightarrow{OA} - d_1 \cdot \overrightarrow{OB}) = r^2 (d_2 - d_1),<br />
\]

gdyż $ RP = SP $.

Zbiór wszystkich punktów $ P $ spełniających równanie (***) stanowi płaszczyznę prostopadłą do wektora $ d_2 \overrightarrow{OA} - d_1 \cdot \overrightarrow{OB} $, cnd.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź