I OM - B - Zadanie 10

Wykazać, że dla dowolnych liczb $ a, b, c $ zachodzi nierówność

\[<br />
a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca<br />
\]

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ

\[<br />
a^2 - 2ab + b2 = (a - b)^2 \geqslant O,<br />
\]

więc

\[<br />
a^2+ b^2 \geqslant 2ab<br />
\]

i tak samo

\[<br />
b^2+ c^2 \geqslant 2bc<br />
\]

oraz

\[<br />
c^2+ a^2 \geqslant 2ca<br />
\]

Dodając stronami powyższe trzy nierówności otrzymujemy

\[<br />
2(a^2+b^2+c^2) \geqslant 2 (ab+bc+ca)<br />
\]

skąd

\[<br />
a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca<br />
\]

Sposób II

Zastosujemy metodę sprowadzenia do niedorzeczności. Przypuśćmy, że dla pewnych liczb $ a, b, c $
prawdziwa jest nierówność

\[<br />
a^2 + b^2 + c^2 < ab + bc + ca<br />
\]

w takim razie

\[<br />
\begin{split}<br />
a^2+ b^2 + c^2 - ab - bc - ca &< 0  \\<br />
2a^2 + 2b^2 + 2c^2- 2ab - 2bc - 2ca &< 0 \\<br />
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 &< 0<br />
\end{split}<br />
\]

Otrzymaliśmy nierówność nieprawdziwą, gdyż każdy z trzech
kwadratów po lewej stronie jest liczbą nieujemną, a więc suma
tych kwadratów jest liczbą nieujemną. Zatem dla wszelkich
liczb $ a, b, c $ zachodzi nicrówność

\[<br />
a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca<br />
\]

Uwaga. Sposoby I i II różnią się właściwie tylko ujęciem,
gdyż oba polegają w gruncie rzeczy na zastosowaniu tych samych
przesłanek:

  1. kwadrat liczby jest liczbą nieujemną,
  2. \[<br />
2 (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = (a - b)^2 + (b -c)^2 + + (c-a)^2<br />
\]

Z przesłanki 2 wysnujemy jeszcze wniosek, że $ a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca $ równa
się zeru tylko wtedy, gdy $ a=b=c $.

Zupełnie tak samo, jak wyżej, dowiedziemy, że dla dowolnych liczb $ a_l, a_2, \dots, a_n $ zachodzi nierówność

\[<br />
a_1^2 + a_2^2 + \dots a_n^2 \geqslant a_1a_2 + a_2a_3 + \dots a_{n-1}a_n + a_na_1,<br />
\]

przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy

\[<br />
a_1=a_2=\dots = a_n<br />
\]

Komentarze

Wspomnień czar...

łza się w oku kręci,kiedy pomyśli się,że kiedyś zaczynano od zadań (teraz) z pozoru łatwych,a w tej chwili dla niektórych to kosmos...

Heh

Heh, dzisiaj takie nierówności kwituje się notką "Oczywiste" :D.

Dodaj nową odpowiedź