XXXI - II - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli $ a $ i $ b $ są liczbami rzeczywistymi oraz wielomian $ ax^3 - ax^2 + 9bx - b $ ma trzy pierwiastki dodatnie, to są one równe.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby dodatnie $ s $, $ t $, $ u $ są pierwiastkami wielomianu $ ax^3 - ax^2 + 9bx - b $. Wobec tego $ ax^3 - ax^2 + 9bx - b = a (x - s) (x - t)(x - u) $, skąd po wymnożeniu z prawej strony i przyrównaniu współczynników przy kolejnych potęgach zmiennej $ x $ otrzymamy tzw. wzory Viete'a

\[<br />
s + t + u = 1<br />
\]
\[<br />
st + su + tu = \frac{9b}{a}<br />
\]
\[<br />
stu=\frac{b}{a}<br />
\]

Dzieląc drugi z tych wzorów przez trzeci otrzymamy

\[<br />
\frac{1}{s} + \frac{1}{t} + \frac{1}{u} = 9.<br />
\]

Pomnóżmy to równanie przez pierwszy z wzorów Vetie'a

\[<br />
\left(\frac{1}{s} + \frac{1}{t} + \frac{1}{u}\right) (s + t + u) = 9 \cdot 1,<br />
\]
\[<br />
1 + \frac{t}{s} + \frac{u}{s} + \frac{s}{t} +<br />
1 + \frac{u}{t} + \frac{s}{u} + \frac{t}{u} + 1 =9,<br />
\]
\[<br />
\frac{t}{s} + \frac{s}{t} + \frac{u}{s} + \frac{s}{u} + \frac{u}{t} + \frac{t}{u} = 6.<br />
\]

Zauważmy, że $ \frac{t}{s} + \frac{s}{t} \geq 2 $, przy czym równość ma miejsce tylko w przypadku, gdy $ s = t $. Istotnie, nierówność ta jest równoważna nierówności $ t^2 + s^2 \geq 2st $ (otrzymanej przez pomnożenie przez liczbę dodatnią $ st $), ta zaś równoważna jest nierówności $ t^2 + s^2 - 2st \geq 0 $, to jest nierówności $ (t - s)^2 \geq 0 $.

Analogicznie stwierdzamy, że

\[<br />
\frac{u}{s} + \frac{s}{u} \geq 2,<br />
\]
\[<br />
\frac{u}{t} + \frac{t}{u} \geq 2,<br />
\]

przy czym równości mają miejsce tylko w przypadku $ s = t = u $. Wobec tego z równości (*) wynika, że

\[<br />
\frac{t}{s} + \frac{s}{t} = 2,\<br />
\frac{u}{s} + \frac{s}{u} = 2,\<br />
\frac{u}{t} + \frac{t}{u} = 2,<br />
\]

a więc $ s = t = u $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź