XXXI - III - Zadanie 1

Obliczyć pole ośmiokąta wpisanego w okrąg wiedząc, że każdy z czterech kolejnych boków tego ośmiokąta ma długość 1, a każdy z czterech pozostałych ma długość 2.

Rozwiązanie

Pole ośmiokąta danego jest sumą pól ośmiu trójkątów, których wspólnym wierzchołkiem jest środek danego okręgu, podstawami zaś cięciwy, z których cztery mają długość $ 1 $, cztery pozostałe - długość $ 2 $. Takie samo pole ma ośmiokąt wpisany w okrąg, w którym kolejne boki mają na przemian długości $ 1 $ oraz $ 2 $.

Zauważmy, że symetralna każdego boku tego ośmiokąta jest osią symetrii ośmiokąta, skąd wynika, że każde dwa kolejne kąty wewnętrzne tego wielokąta są równe. Suma miar kątów wewnętrznych ośmiokąta wynosi $ (8-2) \cdot 180^\circ =<br />
= 1080^\circ $, zatem każdy z kątów ma miarę $ \frac{1}{8} \cdot 1080^\circ = 135^\circ $.
om31_3r_img_18.jpgom31_3r_img_19.jpg
Przedłużając dłuższe boki ośmiokąta otrzymamy czworokąt $ KLMN $, którego pole jest sumą pola ośmiokąta $ ABCDEFGH $ oraz czterech trójkątów, których podstawami są krótsze boki ośmiokąta. Rozważmy którykolwiek z tych trójkątów, np. $ \triangle ABK $. Kąt $ ABK $ jest kątem przyległym do kąta $ ABC $ mającego miarę $ 135^\circ $, wobec tego $ \measuredangle ABK $ ma miarę $ 45^\circ $, analogicznie $ \measuredangle KAB $ ma miarę $ 45^\circ $ i w konsekwencji $ \measuredangle AKB $ jest prosty. Wynika stąd, że $ AB = KB \sqrt{2} $, więc $ KB = KA = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla trójkątów $ CDL $, $ EFM $, $ HGN $ stwierdzamy, że wszystkie kąty czworokąta $ KLMN $ są proste, a wszystkie boki mają długość $ 2 + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} $. Jest to więc kwadrat o boku długości $ 2 + \sqrt{2} $, jego pole wynosi $ (2 + \sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2} $. Pole rozważanego ośmiokąta jest mniejsze
od pola tego kwadratu o sumę pól czterech trójkątów prostokątnych równoramiennych o ramieniu długości $ \frac{1}{\sqrt{2}} $. Pole takiego trójkąta wynosi $ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{4} $. Szukane pole ośmiokąta wynosi więc

\[<br />
6 + 4\sqrt{2}-4 \cdot \frac{1}{4} = 5 + 4 \sqrt{2}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź