XXXI - III - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnej liczby $ n $ istnieje rozwiązanie równania

\[<br />
a^2 + b^2 + c^2 = 3abc<br />
\]

w liczbach naturalnych $ a, b, c $ większych od $ n $.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że istnieją rozwiązania danego równania w liczbach naturalnych, np. $ (1, 1, 1) $, $ (2, 1, 1) $, $ (5, 2, 1) $, itd.

Pokażemy, że jeśli trójka liczb naturalnych $ (a, b, c) $ spełniających warunek $ a > b > c $ stanowi rozwiązanie danego równania, to istnieje taka liczba naturalna $ d $, że $ c + d > a $ oraz $ (c + d, a, b) $ też jest rozwiązaniem danego równania. Szukana liczba $ d $ musi spełniać równanie

\[<br />
(c + d)^2 + a^2 + b^2 = 3(c + d)ab,<br />
\]
\[<br />
c^2 + 2cd + d^2 + a^2 + b^2 = 3abc + 3abd.<br />
\]

Ponieważ $ a^2 + b^2 + c^2 = 3abc $, więc

\[<br />
2cd + d^2 = 3abd, \ \textrm{to jest}<br />
\]
\[<br />
2c + d = 3ab,<br />
\]
\[<br />
d = 3ab - 2c .<br />
\]

Przeprowadzając powyższe rachunki w odwrotnej kolejności stwierdzamy, że istotnie trójka liczb $ (3ab - c, a, b) $ stanowi rozwiązanie danego równania,, przy czym $ 3ab - c > 3a - c > a $.

Wynika stąd, że dowolne rozwiązanie $ (a, b, c) $ spełniające warunek $ a> b > c $ (rozwiązaniem takim jest np. $ (5, 2, 1) $) możemy zastąpić, przez rozwiązanie w liczbach naturalnych większych od $ c $. Iterując to postępowanie dostateczną ilość razy otrzymamy rozwiązanie w liczbach naturalnych większych od dowolnej liczby $ n $.

Uwaga. Korzystając z powyższego rozwiązania można nawet podać wzór na trójkę liczb spełniających dane równanie i większych od ustalonej liczby $ n $. Rozpatrzmy ciągi $ \{ b_n \} $ i $ \{ c_n \} $ określone w następujący sposób

\[<br />
b_1 = c_1 = 1, \  b_{k+1} = 3b_k - c_k,\ c_{k+1} = b_k.<br />
\]

Modyfikując nieznacznie rozumowanie przeprowadzone w rozwiązaniu zadania stwierdzimy, że każda z trójek liczb $ t_k= (1, b_k, c_k) $ spełnia dane równanie:

\[<br />
t_1 = (1, 2, 1) \ \textrm{jest rozwiązaniem},<br />
\]

Jeśli $ t_k = (1, b_k, c_k) $ jest rozwiązaniem, to $ t_{k+1} =(1, 3b_k - c_k, b_k) $ też jest rozwiązaniem.

Wynika stąd, że $ b_1 = 1 $, $ b_2 = 2 $, $ b_{k+2} = 3b_{k+1} - b_k $ i trójki liczb $ (1, b_{k+1}, b_k) $ spełniają równanie. Stosując jeszcze raz rozumowanie przeprowadzone w rozwiązaniu zadania stwierdzimy, że z faktu, że $ (1, b_{k+1}, b_k) $ jest rozwiązaniem wynika, że $ (b_{k+1}, b_k, 3b_k \cdot b_{k+1} - 1) $ też jest rozwiązaniem.

Z drugiej strony przez indukcję można wykazać, że

\[<br />
b_k = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(<br />
\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{2k-1} -<br />
\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{2k-1}<br />
 \right)<br />
\]

oraz $ b_k \geq k $.

Reasumując otrzymujemy wzory na rozwiązanie $ (b_{n+1}, b_n, 3b_n \cdot b_{n+1} - 1) $ w liczbach nie mniejszych od $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź