XXXI - III - Zadanie 3

Obieramy liczbę całkowitą $ k $ z przedziału $ [1, 99] $. Następnie rzucamy 100 razy monetą (wyniki rzutów są niezależne). Niech

\[<br />
\varepsilon_j = \begin{cases}<br />
1, & \mbox{ gdy w $j$-tym rzucie wypadnie orzeł,} \\<br />
2, & \mbox{ gdy w $j$-tym rzucie wypadnie reszka.}<br />
\end{cases}<br />
\]

Oznaczmy przez $ M_k $ zdarzenie polegające na tym, że istnieje taka liczba $ i $, że $ k + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_i = 100 $. Jakie powinno być $ k $, aby prawdopodobieństwo zdarzenia $ M_k $ było największe?

Rozwiązanie

Niech $ P(M_k) $ będzie prawdopodobieństwem zdarzenia $ M_k $. Oczywiście $ P(M_{99})=\frac{1}{2} $, $ p(M_{98})=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} $. Pokażemy, że dla $ k < 98 $ jest $ P(M_k) < \frac{3}{4} $. Zauważmy najpierw, że

\[<br />
(1) \qquad P(M_{k-2}) = \frac{1}{2} P(M_{k-1}) + \frac{1}{2} P(M_k)\ \textrm{dla}\ 2 < k < 100.<br />
\]

Istotnie, jeśli w pierwszym rzucie wypadnie orzeł (prawdopodobieństwo tego wynosi $ \frac{1}{2} $, to zdarzenie sprzyjające zdarzeniu $ M_{k-2} $ polega na tym, że $ (k - 2) + 1 + \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_i = 100 $, więc $ k - 1 + \varepsilon_2 +\ldots + \varepsilon_i = 100 $.

Jeśli zaś w pierwszym rzucie wypadnie reszka, to zdarzenie sprzyjające polega na tym, że $ k + \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_i = 100 $.

Stosując (1) możemy udowodnić przez indukcję, że

\[<br />
P(M_{98-n}) < \frac{3}{4} \ \textrm{dla}\ n= 1, 2, \ldots,97.<br />
\]

Dla $ n = 1 $ jest na mocy (1)

\[<br />
P(M_{97}) = \frac{1}{2} P(M_{98}) + \frac{1}{2} P(M_{99}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{8} < \frac{3}{4}.<br />
\]

Załóżmy, że dla pewnego $ n $ $ (1 < n < 97) $ i dla $ k = 1, 2, \ldots, n $ jest $ P(M_{98-k}) < \frac{3}{4} $.

\[<br />
P(M_{98-(n+1)}) = \frac{1}{2} P(M_{98-n}) + \frac{1}{2} P(M_{98-n+1}) < \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}.<br />
\]

Wynika stąd na mocy zasady indukcji, że $ P(M_k) < \frac{3}{4} $ dla $ 1 \leq k < 98 $.

Ponieważ ponadto $ P(M_{99}) < \frac{3}{4} $, więc prawdopodobieństwo zdarzenia $ M_k $ jest największe dla $ k = 98 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź