XXXI - III - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdego wielomianu $ W $ trzech zmiennych istnieją takie wielomiany $ U $ i $ V $, że tożsamościowo zachodzą równości

\[<br />
\begin{split}<br />
W(x, y,z) = U (x, y, z) + V (x, y, z),<br />
U (x, y, z) = U (y, x, z),<br />
V(x, y,z) = -V(x, z, y).<br />
\end{split}<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że wielomiany $ U $ i $ V $ spełniają warunki zadania. Wobec tego

\[<br />
(*) \qquad\begin{split}<br />
W(x, y, z) &= U(x, y, z) + V(x, y, z) \\<br />
W(y, x, z) &= U(x, y, z) + V(y, x, z) \\<br />
W(x, z, y) &= U(x, z, y) - V(x, y, z) \\<br />
W(y, z, x) &= U(y, z, x) - V(y, x, z) \\<br />
W(z, x, y) &= U(x, z, y) + V(z, x, y) \\<br />
W(z, y, x) &= U(y, z, x) - V(z, x, y).<br />
\end{split}<br />
\]

Z dwóch pierwszych równań wyliczamy

\[<br />
U (x, y,z) = \frac{1}{2} W(x, y,z) + \frac{1}{2} W(y, x, z) - \frac{1}{2} V(x, y,z) - \frac{1}{2} V(y, x, z).<br />
\]

Z dwóch kolejnych równań układu (*) otrzymujemy

\[<br />
V(x,y, z) = - W (x, z,y) + U(x,z,y),<br />
\]
\[<br />
V(y, x, z) = - W(y, z, x) + U (y, z, x),<br />
\]

więc

\[<br />
\begin{split}<br />
U(x,y,z) = \frac{1}{2} W(x,y,z) + \frac{1}{2} W(y,x,z) + \frac{1}{2} W(x,z,y)- \frac{1}{2} U(x,z,y)+\\ + \frac{1}{2} W(y,z,x)-\frac{1}{2} U(y,z,x).<br />
\end{split}<br />
\]

Wreszcie z ostatnich dwóch równań układu (*) wynika

\[<br />
U(x,z,y) = W (z,x,y) - V(z,x,y)<br />
\]
\[<br />
U(y, z, x) = W(z,y, x) + V(z, x,y),<br />
\]

więc

\[<br />
\begin{split}<br />
 U(x, y,z)&=\frac{1}{2} W(x, y, z) + \frac{1}{2} W(y, x, z) + \frac{1}{2} W(x, z,y)+ \frac{1}{2} W(y, x, z) + \\<br />
& \quad- \frac{1}{2} W(z,x,y)+ \frac{1}{2} V(z, x ,y) - \frac{1}{2} W (z, y, x) - \frac{1}{2} V (z, x, y)\\<br />
U(x, y, z) &= \frac{1}{2} (W(x, y, z) + W(y, x, z) + W(x, z, y)+ W(y, z, x)+\\<br />
&\quad  -  W(z,x,y) - W(z,y,x)).<br />
\end{split}<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
\begin{split}<br />
V(x,y,z) &= W(x,y,z) - U(x,y,z) = \\<br />
&=\frac{1}{2} (W(x,y,z)-W(y,x,z)-W(x,z,y)+\\<br />
&\quad- W(y, z, x) + W (z, x, y) + W(z,y, x))<br />
\end{split}<br />
\]

Z określenia $ V $ wynika, że wielomiany $ U $ i $ V $ zdefiniowane wyżej spełniają związek

\[<br />
W(x, y,z) = U(x, y, z) + V(x, y, z).<br />
\]

Sprawdzamy bezpośrednio, że

\[<br />
\begin{split}<br />
U(y, x, z) &= \frac{1}{2} (W(y, x, z) + W(x, y, z) + W(y, z, x) + W(x, z, y) +\\<br />
&\quad - W(z,y, x) - W (z, x,y)) = U(x,y, z),\\<br />
 V(x, z,y) &= \frac{1}{2} (W(x, z,y) - W(z, x,y) - W(x,y, z) - W(z,y,x)+ W(y, x, z) +\\<br />
&\quad + W(y, z,x)) = \frac{1}{2}(- W(x, y, z) + W(y, x, z) + W(x, z, y) +\\<br />
&\quad + W(y, z, x) - W (z, x,y) - W(z,y, x)) = -V(x,y, z).<br />
\end{split}<br />
\]

Wykazaliśmy więc, że wielomiany

\[<br />
\begin{split}<br />
U(x,y,z)=& \frac{1}{2} (W(x,y, z) + W(y, x, z) + W(x, z,y) + W(y, z,x)+\\<br />
& -W(z,x,y)- W(z,y,x)),\\<br />
V(x, y, z) =& \frac{1}{2} (W(x,y, z) - W(y, x, z) - W(x, z,y) - W(y, z, x) + \\<br />
& + W(z,x,y) + W(z,y,x))<br />
\end{split}<br />
\]

spełniają wymagania zadania, przy czym są to jedyne wielomiany spełniające te wymagania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź