XXXI - III - Zadanie 5

W czworościanie pola sześciu trójkątów, których bokami są krawędzie, a wierzchołkami środki przeciwległych krawędzi czworościanu, są równe. Udowodnić, że czworościan ten jest foremny.

Rozwiązanie

Założenie zadania gwarantuje równość pól sześciu trójkątów, z których każdy ma podstawę będącą krawędzią czworościanu, a wierzchołek przeciwległy jest środkiem przeciwległej krawędzi. Na czworościanie $ ABCD $ opisujemy równoległościan $ A_1CB_1DAC_1BD_1 $, którego każda ściana zawiera pewną krawędź czworościanu i jest równoległa do przeciwległej krawędzi czworościanu. Z założenia o równości pól sześciu trójkątów, których bokami są krawędzie a wierzchołkami środki przeciwległych krawędzi czworościanu wynika, że przekroje równoległościanu płaszczyznami zawierającymi przeciwległe krawędzie mają równe pola, bo np. pole $ A_1B_1BA $ jest równe $ 2 \cdot $ pole $ \triangle ABK_1 $, pole $ CDD_1C_1 $ równe jest $ 2 \cdot $ pole $ \triangle CDK $ itp. dla pozostałych czterech przekrojów.
om31_3r_img_20.jpgom31_3r_img_21.jpg
Poprowadźmy teraz płaszczyznę prostopadłą do pewnej krawędzi rozważanego równoległościanu, np. do $ \overline{AA_1} $. Przecina ona proste $ AA_1 $, $ BB_1 $, $ CC_1 $, $ DD_1 $ odpowiednio w punktach $ A_2 $, $ B_2 $, $ C_2 $, $ D_2 $, przy czym $ A_2C_2B_2D_2 $ jest równoległobokiem. Ponieważ pole $ ABB_1A_1 $ jest równe $ AA_1 \cdot A_2B_2 $ oraz pole $ CDD_1C_1 $ jest równe $ CC_1 \cdot C_2D_2 $, przy czym pola te są równe i $ AA_1 = CC_1 $, więc $ A_2B_2 = C_2D_2 $. Wobec tego równoległobok $ A_2C_2B_2D_2 $ ma przekątne równej długości, jest więc prostokątem. Wynika stąd, że ściany $ AC_1CA_1 $ i $ CB_1BC_1 $; $ CB_1BC_1 $ i $ B_1DD_1B $; $ B_1DD_1B $ i $ A_1DD_1A $ są do siebie prostopadłe.

Prowadząc płaszczyznę prostopadłą do krawędzi $ AC_1 $ a następnie płaszczyznę prostopadłą do krawędzi $ AD_1 $ stwierdzimy w analogiczny sposóbj że każde dwie ściany równoległościanu mające wspólną krawędź są prostopadłe, a więc równoległościan jest prostopadłościanem. Jeśli $ x $, $ y $, $ z $ są długościami krawędzi tego prostopadłościanu, to ponieważ (jak stwierdziliśmy wyżej) przekroje poprowadzone przez przeciwległe krawędzie mają równe pola, więc

\[<br />
x \sqrt{y^2 + z^2} = y\sqrt{x^2 + z^2} = z\sqrt{x^2 + y^2}.<br />
\]

Wynika stąd

\[<br />
x^2y^2 + x^2z^2 = y^2x^2 + y^2z^2 = z^2x^2 + z^2y^2.<br />
\]

Pierwsza z tych równości pociąga za sobą $ x^2z^2 = y^2z^2 $, więc $ x = y $, podobnie z drugiej równości wynika $ y = z $.

Wobec tego równoległościan opisany na danym czworościanie jest czworościanem, a stąd wynika, że dany czworościan jest foremny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź