XXX OM - I - Zadanie 3

Liczby $ a, b, c, d, e $ są liczbami wymiernymi dodatnimi. Dowieść, że istnieją takie liczby wymierne $ u_1, u_2, \ldots, u_n $ oraz liczby wymierne nieujemne $ w_1, w_2, \ldots, w_n $, że

\[<br />
\frac{1}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{d}+\sqrt[4]{e}} = u_1\sqrt[4]{w_1} + u_2\sqrt[4]{w_2} + \ldots + u_n\sqrt[4]{w_n}.<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ A $ będzie zbiorem wszystkich wielomianów niezerowych o współczynnikach wymiernych. Liczbę $ \alpha $ nazywamy algebraiczną, jeżeli jest pierwiastkiem pewnego wielomianu należącego do $ A $.

Udowodnimy najpierw kilka prostych własności liczb algebraicznych.

Jeżeli $ \alpha $ jest liczbą algebraiczną, to $ \alpha + 1 $ też jest liczbą algebraiczną. Jeżeli bowiem $ f \in A $ i $ f(\alpha) = 0 $, to oczywiście wielomian $ g $ określony wzorem $ g(x) = f(x - 1) $ też należy do $ A $ i $ g(\alpha + 1) = f(\alpha) = 0 $.

Wykażemy, że jeżeli $ \alpha $ jest liczbą algebraiczną, to $ \alpha^2 $ jest liczbą algebraiczną.

Zakładamy więc, że istnieje wielomian $ f \in A $ spełniający $ f(\alpha) = 0 $. Przenosząc w tej równości wszystkie składniki zawierające $ \alpha $ w potęgach parzystych na jedną stronę, a w potęgach nieparzystych - na drugą, i podnosząc obie strony do kwadratu otrzymamy równość postaci $ f_1 (\alpha^2) =f_2(\alpha^2) $, gdzie $ f_1 $ i $ f_2 $ są różnymi wielomianami o współczynnikach wymiernych. Zatem $ f_1-f_2 \in A $ oraz $ (f_1 - f_2) (\alpha^2) = 0 $. Liczba $ \alpha^2 $ jest więc algebraiczna.

Udowodnimy z kolei, że jeżeli $ \alpha $ jest liczbą algebraiczną, a $ \omega $ - liczbą wymierną dodatnią, to liczba $ \alpha \cdot \sqrt[4]{\omega} $ jest algebraiczna. Jak dowiedliśmy, liczba $ \alpha^2 $, a więc i liczba $ \alpha^4 = (\alpha^2)^2 $ jest algebraiczna, tzn. zachodzi równość postaci

\[<br />
c_0 + c_1\alpha^4 + c_2 \alpha^8 + \ldots + c_k\alpha^{4k} = 0,<br />
\]

gdzie $ c_0, c_1, \ldots, c_k $ są liczbami wymiernymi i $ c_k \ne 0 $.

Przyjmując

\[<br />
g(x) = c_0 + c_1\omega^{-1}x^4 + c_2w^{-2}x^8 + \ldots + c_kw^{-k}x^{4k}<br />
\]

stwierdzamy bez trudu, że $ g \in A $ oraz $ g(\alpha \sqrt[4]{\omega}) = 0 $. Zatem liczba $ \alpha \sqrt[4]{\omega} $ jest algebraiczna.

Wykażemy wreszcie, że jeżeli liczba $ \alpha $ jest algebraiczna a liczba $ u $ --- wymierna dodatnia, to liczba $ \alpha + \sqrt[4]{u} $ jest algebraiczna.

Teza wynika z łatwej do sprawdzenia równości

\[<br />
\alpha + \sqrt[4]{u} = \sqrt[4]{u} ( \alpha \sqrt[4]{u^{-1}} + 1)<br />
\]

i z poprzedniej części dowodu.

Wynika stąd, że liczba $ \beta = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}+ \sqrt[4]{c} + \sqrt[4]{d} + \sqrt[4]{e} $ dana w zadaniu jest algebraiczna. Zachodzi więc równość postaci

\[<br />
b_0 + b_1 \beta + b_2 \beta^2 + \ldots + b_m \beta^m = 0,<br />
\]

gdzie $ b_0, b_1, \ldots, b_m $ są liczbami wymiernymi i $ b_m \ne 0 $. Ponieważ $ \beta \ne 0 $, więc możemy przyjąć, że $ b_0 \ne 0 $, a dzieląc stronami ostatnią równość przez $ b_0 $ - że $ b_0 = 1 $. Zatem z równości tej otrzymujemy, że

\[<br />
\frac{1}{\beta} = -(b_1 + b_2 \beta + \ldots +b_m \beta^{m-1}).<br />
\]

Z określenia liczby $ \beta $ wynika, że prawa strona ostatniej równości może być zapisana w postaci sumy czwartych pierwiastków z pewnych liczb wymiernych dodatnich, o współczynnikach wymiernych.

Uwaga. Prawdziwe jest twierdzenie: {\it Suma, różnica, iloczyn i iloraz liczb algebraicznych jest liczbą algebraiczną}. Z twierdzenia tego wynika natychmiast, że lewa strona równości podanej w zadaniu jest liczbą algebraiczną.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź