XXX OM - I - Zadanie 4

W wielościanie wypukłym $ Q $ umieszczono wielościan wypukły $ P $, w którym obrano punkt wewnętrzny $ O $. Dla każdego punktu $ X $ leżącego na ścianie wielościanu $ Q $ oznaczono przez $ P_X $ punkt przecięcia odcinka $ \overline{OX} $ ze ścianą wielościanu $ P $. Dowieść, że istnieje taki wierzchołek $ Y $ wielościanu $ Q $, że

\[<br />
\frac{OY}{OP_Y} \geq \frac{OX}{OP_X}<br />
\]

dla każdego punktu $ X $ leżącego na dowolnej ścianie wielościanu $ Q $.

Rozwiązanie

Jeżeli punkt $ X $ należy do ściany (lub krawędzi) wielościanu $ Q $, to istnieją takie punkty $ A $ i $ B $ należące do krawędzi wielościanu $ Q $ (odpowiednio: do zbioru jego wierzchołków), że punkt $ X $ należy do odcinka $ \overline{AB} $. Niech $ A' $ i $ B' $ będą takimi punktami, że $ A' \in \overline{OA} $, $ B' \in \overline{OB} $, $ A'B' \parallel AB $ i $ P_X \in \overline{A'B'} $ (rys. 5).
om30_1r_img_5.jpg
Z wypukłości wielościanu $ P $ wynika, że $ P_A \in \overline{A'O} $ lub $ P_B \in \overline{B'O} $. Niech na przykład $ P_A \in \overline{A'O} $, czyli $ OP_A \leq OA' $. Wtedy na mocy twierdzenia Talesa otrzymujemy

\[<br />
\frac{OX}{OP_X} = \frac{OA}{OA'} \leq \frac{OA}{OP_A}<br />
\]

Dowiedliśmy więc, że dla każdego punktu $ X $ należącego do ściany wielościanu $ Q $ istnieje taki punkt $ A $ należący do krawędzi tego wielościanu, że

\[<br />
\frac{OX}{OP_X} \leq \frac{OA}{OP_A}.<br />
\]

Analogicznie stwierdzamy, że dla każdego punktu $ A $ należącego do krawędzi wielościanu $ Q $ istnieje taki punkt $ Y $ będący wierzchołkiem tego wielościanu, że

\[<br />
\frac{OA}{OP_A} \leq \frac{OY}{OP_Y}.<br />
\]

Wynika stąd teza zadania.

Uwaga. W rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, że wielościan $ Q $ jest wypukły.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź