XXX OM - I - Zadanie 5

Znaleźć taką liczbą rzeczywistą $ m $, dla której iloczyn pewnych dwóch pierwiastków rzeczywistych równania

\[<br />
2x^4 - 7x^3 + mx^2 + 22x - 8 = 0<br />
\]

wynosi 2.

Rozwiązanie

Jeżeli $ a $ i $ b $ są pierwiastkami rzeczywistymi wielomianu

\[<br />
f(x) = 2x^4 - 7x^3 + mx^2 + 22x - 8,<br />
\]

to na mocy twierdzenia Bezouta wielomian ten można zapisać w postaci

\[<br />
f(x) = (x - a) (x - b) (2x^2 + cx + d),<br />
\]

gdzie $ c $ i $ d $ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Porównując współczynniki przy tych samych potęgach $ x $ w obu przedstawieniach wielomianu $ f $ otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
& (1) \qquad -2(a + b) + c = -7 \\<br />
& (2) \qquad 2ab - c(a + b) + d = m \\<br />
& (3) \qquad abc - (a + b)d = 22 \\<br />
& (4) \qquad abd = -8<br />
\end{split}<br />
\]

Na mocy warunków zadania możemy przyjąć $ ab = 2 $. Wtedy z (4) wynika, że $ d = -4 $ i wobec tego równanie (3) przybiera postać $ 2c + 4 (a + b) = 22 $, czyli $ c + 2(a+ b) = 11 $. Dodając do tej równości obustronnie (1) otrzymujemy $ 2c = 4 $, czyli $ c = 2 $. Podstawiając tę wartość do (1) otrzymujemy $ a + b = \frac{9}{2} $. Wobec tego z (2) wynika, że $ m = 2 \cdot 2 - 2 \cdot \frac{9}{2} - 4 = -9 $.

Z otrzymanych wyżej równości $ a + b = \frac{9}{2} $ i $ ab = 2 $ na mocy wzorów Viete'a wynika, że liczby $ a $ i $ b $ są pierwiastkami trójmianu $ t^2 - \frac{9}{2} t+2 $. Ponieważ wyróżnik tego trójmianu jest liczbą dodatnią, więc liczby $ a $ i $ b $ są rzeczywiste.

Z powyższego wynika, że dla $ m = -9 $ (i tylko dla tej wartości w) istnieją liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniające układ równań (1) - (4). Wobec tego liczba $ m = - 9 $ i tylko ta liczba spełnia warunki zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź