- LX OM
- LIX OM
- LVIII OM
- LVII OM
- LVI OM
- LV OM
- LIV OM
- LIII OM
- LII OM
- LI OM
- L OM
- XLIX OM
- XLVIII OM
- XLVIII OM - I etap
- XLVIII OM - I - Zadanie 1
- XLVIII OM - I - Zadanie 2
- XLVIII OM - I - Zadanie 3
- XLVIII OM - I - Zadanie 4
- XLVIII OM - I - Zadanie 5
- XLVIII OM - I - Zadanie 6
- XLVIII OM - I - Zadanie 7
- XLVIII OM - I - Zadanie 8
- XLVIII OM - I - Zadanie 9
- XLVIII OM - I - Zadanie 10
- XLVIII OM - I - Zadanie 11
- XLVIII OM - I - Zadanie 12
- XLVIII OM - II etap
- XLVIII OM - III etap
- XLVIII OM - I etap
- XLVII OM
- XLVI OM
- XLV OM
- XLIV OM
- XLIII OM
- XLII OM
- XLI OM
- XL OM
- XXXIX OM
- XXXVIII OM
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVIII OM - I - Zadanie 1
- XXXVIII OM - I - Zadanie 2
- XXXVIII OM - I - Zadanie 3
- XXXVIII OM - I - Zadanie 4
- XXXVIII OM - I - Zadanie 5
- XXXVIII OM - I - Zadanie 6
- XXXVIII OM - I - Zadanie 7
- XXXVIII OM - I - Zadanie 8
- XXXVIII OM - I - Zadanie 9
- XXXVIII OM - I - Zadanie 10
- XXXVIII OM - I - Zadanie 11
- XXXVIII OM - I - Zadanie 12
- XXXVIII OM - II etap
- XXXVIII OM - III etap
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVII OM
- XXXVII OM - I etap
- XXXVII OM - I - Zadanie 1
- XXXVII OM - I - Zadanie 2
- XXXVII OM - I - Zadanie 3
- XXXVII OM - I - Zadanie 4
- XXXVII OM - I - Zadanie 5
- XXXVII OM - I - Zadanie 6
- XXXVII OM - I - Zadanie 7
- XXXVII OM - I - Zadanie 8
- XXXVII OM - I - Zadanie 9
- XXXVII OM - I - Zadanie 10
- XXXVII OM - I - Zadanie 11
- XXXVII OM - I - Zadanie 12
- XXXVII OM - II etap
- XXXVII OM - III etap
- XXXVII OM - I etap
- XXXVI OM
- XXXV OM
- XXXIV OM
- XXXIII OM
- XXXIII OM - I etap
- XXXIII OM - I - Zadanie 1
- XXXIII OM - I - Zadanie 2
- XXXIII OM - I - Zadanie 3
- XXXIII OM - I - Zadanie 4
- XXXIII OM - I - Zadanie 5
- XXXIII OM - I - Zadanie 6
- XXXIII OM - I - Zadanie 7
- XXXIII OM - I - Zadanie 8
- XXXIII OM - I - Zadanie 9
- XXXIII OM - I - Zadanie 10
- XXXIII OM - I - Zadanie 11
- XXXIII OM - I - Zadanie 12
- XXXIII OM - II etap
- XXXIII OM - III etap
- XXXIII OM - I etap
- XXXII OM
- XXXI OM
- XXX OM
- XXIX OM
- XXVIII OM
- XXVII OM
- XXVI OM
- XXV OM
- XXIV OM
- XXIII OM
- XXII OM
- XXI OM
- XX OM
- XIX OM
- XVIII OM
- XVII OM
- XVI OM
- XV OM
- XIV OM
- XIII OM
- XII OM
- XI OM
- X OM
- IX OM
- VIII OM
- VII OM
- V OM
- VI OM
- IV OM
- III OM
- II OM
- I OM
- Skład komitetów Olimpiady
- Zawody stopnia I (przygotowawcze)
- Zadania z pierwszej olimpiady matematycznej
- I OM - B
- I OM - B - Zadanie 1
- I OM - B - Zadanie 2
- I OM - B - Zadanie 3
- I OM - B - Zadanie 4
- I OM - B - Zadanie 5
- I OM - B - Zadanie 6
- I OM - B - Zadanie 7
- I OM - B - Zadanie 8
- I OM - B - Zadanie 9
- I OM - B - Zadanie 10
- I OM - B - Zadanie 11
- I OM - B - Zadanie 12
- I OM - B - Zadanie 13
- I OM - B - Zadanie 14
- I OM - B - Zadanie 15
- I OM - B - Zadanie 16
- I OM - B - Zadanie 17
- I OM - B - Zadanie 18
- I OM - B - Zadanie 19
- I OM - B - Zadanie 20
- I OM - I etap
- I OM - II etap
- I OM - III etap
- I OM - B
XXX OM - I - Zadanie 6
Udowodnić, że jeżeli w trójkącie środek koła wpisanego, punkt przecięcia wysokości i środek koła opisanego leżą na jednej prostej, to trójkąt jest równoramienny.
Rozwiązanie
W trójkącie niech
,
,
będą odpowiednio punktem przecięcia wysokości, środkiem koła wpisanego i środkiem koła opisanego. Na mocy warunków zadania punkty
,
,
leżą na jednej prostej.
Jeżeli , to każda z wysokości tego trójkąta jest symetralną odpowiedniego boku. Wtedy oczywiście trójkąt
jest równoboczny. Niech więc
. Rozpatrzymy przypadek, gdy trójkąt
jest ostrokątny. Wtedy punkty
,
,
należą do jego wnętrza. Jeżeli trójkąt
nie jest ostrokątny, to rozumowanie przebiega podobnie.
Co najmniej dwa wierzchołki trójkąta nie należą do prostej
. Niech na przykład
. Ponieważ
jest środkiem koła opisanego na trójkącie
, a kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, więc
. Mamy też
, ponieważ
(rys. 6).
Wobec tego , tzn.
. Wynika stąd, że
jest dwusieczną kąta
. Dwusieczna kąta w trójkącie
dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków. Wobec tego
![]() |
Stąd wobec wynika, że
. Zatem
i wobec tego
. Trójkąt
jest więc równoramienny.
Komentarze
Dodaj nową odpowiedź