XXX OM - I - Zadanie 6

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie środek koła wpisanego, punkt przecięcia wysokości i środek koła opisanego leżą na jednej prostej, to trójkąt jest równoramienny.

Rozwiązanie

W trójkącie $ ABC $ niech $ O $, $ P $, $ Q $ będą odpowiednio punktem przecięcia wysokości, środkiem koła wpisanego i środkiem koła opisanego. Na mocy warunków zadania punkty $ O $, $ P $, $ Q $ leżą na jednej prostej.

Jeżeli $ O = Q $, to każda z wysokości tego trójkąta jest symetralną odpowiedniego boku. Wtedy oczywiście trójkąt $ ABC $ jest równoboczny. Niech więc $ O \ne Q $. Rozpatrzymy przypadek, gdy trójkąt $ ABC $ jest ostrokątny. Wtedy punkty $ O $, $ P $, $ Q $ należą do jego wnętrza. Jeżeli trójkąt $ ABC $ nie jest ostrokątny, to rozumowanie przebiega podobnie.

Co najmniej dwa wierzchołki trójkąta $ ABC $ nie należą do prostej $ OQ $. Niech na przykład $ B, C \ne OQ $. Ponieważ $ Q $ jest środkiem koła opisanego na trójkącie $ ABC $, a kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, więc $ \measuredangle AQC = 2 \measuredangle ABC $. Mamy też $ \measuredangle QAC = \measuredangle QCA $, ponieważ $ AQ = QC $ (rys. 6).
om30_1r_img_6.jpg
Wobec tego $ \pi = \measuredangle QAC + \measuredangle QCA + \measuredangle AQC = 2(\measuredangle QCM + \measuredangle ABC) $, tzn. $ \measuredangle QCA = \frac{\pi}{2} - \measuredangle ABC = \measuredangle BCO $. Wynika stąd, że $ CP $ jest dwusieczną kąta $ \measuredangle OCQ $. Dwusieczna kąta w trójkącie $ OCQ $ dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków. Wobec tego

\[<br />
\frac{OC}{QC} = \frac{OP}{QP} = \frac{OB}{QB}.<br />
\]

Stąd wobec $ QC = QB $ wynika, że $ OC = OB $. Zatem $ \measuredangle OCB = \measuredangle OBC $ i wobec tego $ \measuredangle ABC = \frac{\pi}{2} - \measuredangle OCB = \frac{\pi}{2} - \measuredangle OBC = \measuredangle ACB $. Trójkąt $ ABC $ jest więc równoramienny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź