I OM - B - Zadanie 12

Ile boków ma wielokąt, którego każdy kąt jest $ k $ razy większy od kąta przyległego ? Jakie wartości może przybierać $ k $ ?

Rozwiązanie

Jeśli każdy kąt wielokąta jest $ k $ razy większy od kąta przyległego,
to suma wszystkich $ n $ kątów wielokąta, która - jak
wiadomo - równa się $ (n - 2) \cdot 180^{\circ} $, jest także $ k $ razy większa
od sumy odpowiednich kątów przyległych (czyli kątów zewnętrznych),
tzn. jest $ k $ razy większa od $ 360^{\circ} $. Zatem

\[<br />
(n - 2) \cdot 180^{\circ} = k \cdot 360^{\circ},<br />
\]

skąd

\[<br />
n - 2 = 2k \quad \text{i} \quad n = 2k + 2.<br />
\]

Ponieważ $ n - 2 $ musi być liczbą naturalną, więc $ 2k $ powinno
być liczbą naturalną, czyli $ k $ musi być równe połowie
liczby naturalnej, a więc $ k = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots $

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź