XXX OM - I - Zadanie 8

Spośród stożków wpisanych w kulę $ B $ wybrano taki stożek $ S_1 $ że kula $ K_1 $ wpisana w stożek $ S_1 $ ma maksymalną objętość. Następnie w kulę $ B $ wpisano stożek $ S_2 $ o maksymalnej objętości, a w stożek $ S_2 $ wpisano kulę $ K_2 $. Rozstrzygnąć, co jest większe: suma objętości $ S_1 $ i $ K_1 $, czy suma objętości $ S_2 $ i $ K_2 $.

Rozwiązanie

Niech $ S $ będzie dowolnym stożkiem wpisanym w daną kulę $ B $, a $ K $ - kulą wpisaną w stożek $ S $. Przekrój osiowy stożka $ S $ jest trójkątem równoramiennym $ ACD $, gdzie $ A $ jest wierzchołkiem stożka (rys. 7).
om30_1r_img_7.jpg
Niech $ O $ będzie środkiem kuli $ B $, a $ Q $ - środkiem kuli $ K $. Wtedy $ O $ jest środkiem koła opisanego na trójkącie $ ACD $, a $ Q $ - środkiem koła wpisanego w ten trójkąt. Niech $ P $ będzie środkiem odcinka $ \overline{CD} $, a $ M $ i $ N $ odpowiednio - rzutami prostokątnymi punktów $ Q $ i $ O $ na prostą $ AD $.

Przyjmijmy $ \alpha = \measuredangle PAD $, $ R = AO $. Mamy następujące zależności:

\[<br />
AN = ND = R \cos \alpha,<br />
\]
\[<br />
AP = AD \cos \alpha = 2R \cos^2 \alpha,<br />
\]
\[<br />
DP = AD \sin \alpha = 2R \sin \alpha \cos \alpha.<br />
\]

Wobec tego objętość $ V_s $ stożka $ S $ jest równa

\[<br />
V_S = \frac{1}{3} \pi (DP)^2 \cdot AP = \frac{8}{3} \pi R^3 \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha,<br />
\]

czyli

\[<br />
(1) \qquad V_S = \frac{8}{3} \pi R^3 a^2(1-a^2)^2,<br />
\]

gdzie przyjęliśmy $ a = \sin \alpha $.

Mamy następnie $ MQ = QP $. Zatem $ AP \sin \alpha = QP \sin \alpha + AQ \sin \alpha = MQ \sin \alpha + MQ $ i wobec tego

\[<br />
MQ = \frac{AP \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} = \frac{2R (1 - sin^2 \alpha) \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} = 2R \sin \alpha (1 - \sin \alpha) = 2Ra (1-a).<br />
\]

Objętość $ V_K $ kuli $ K $ jest więc równa

\[<br />
(2) \qquad V_K = \frac{4}{3} \pi MQ^3 = \frac{32}{3} \pi R^3 a^3 (1 - a)^3.<br />
\]

Zatem suma $ V = V(a) $ objętości stożka $ S $ i kuli $ K $ jest równa na mocy (1) i (2):

\[<br />
(3) \qquad V(a) = V_S + V_K = \frac{8}{3} \pi R^3 a^2(1-a)^2 ((1+a)^2 + 4a(1-a)) =<br />
\frac{8}{3} \pi R^3 a^2(1-a)^2 (1 + 6a - 3a^2).<br />
\]

Z warunków zadania wynika, że $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Wobec tego liczba $ a = \sin \alpha $ należy do przedziału $ (0,1) $.

W tym przedziale funkcja $ f(a) = a (1 - a^2) $ przyjmuje maksymalną wartość przy $ a = \frac{\sqrt{3}}{3} $, ponieważ jest to jedyne miejsce zerowe pochodnej $ f'(a) =1 - 3a^2 $ w tym przedziale oraz $ f(0) =f(1) = 0 $ i $ f(a) > 0 $ dla $ 0 < a < 1 $. Wobec tego ze wzoru (1) wynika, że stożek $ S $ ma maksymalną objętość przy $ a = \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Analogicznie stwierdzamy, że funkcja $ g(a) = a(1 - a) $ w przedziale $ (0, 1) $ przyjmuje maksymalną wartość przy $ a = \frac{1}{2} $. Wobec tego ze wzoru (2) wynika, że kula $ K $ ma maksymalną objętość przy $ a = \sin \alpha = \frac{1}{2} $, tzn. przy $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.

Z kolei obliczamy wartości funkcji $ V(a) $ określonej wzorem (3) w punktach $ a = \frac{\sqrt{3}}{3} $ i $ a = \frac{1}{2} $. Otrzymujemy:

\[<br />
\begin{split}<br />
V \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{8}{3} \pi R^3 \cdot & \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3} \right) (1 + 2\sqrt{3} -1)=\\<br />
& \frac{8 \pi R^3}{3} \cdot \frac{4}{9} (2\sqrt{3} - 3),<br />
\end{split}<br />
\]
\[<br />
\begin{split}<br />
V \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{8}{3} \pi R^3 \cdot & \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \left( 1 + 3 - \frac{3}{4} \right) = \frac{8 \pi R^3}{3} \cdot \frac{13}{64}.<br />
\end{split}<br />
\]

Sprawdzamy bez trudu, że $ \frac{4}{9} (2\sqrt{3} - 3) > \frac{13}{64} $, a więc $ V \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) > V \left( \frac{1}{2} \right) $. Wobec tego suma objętości $ S_2 $ o $ K_2 $ jest większa niż suma objętości $ S_1 $ i $ K_1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź