XXX OM - I - Zadanie 10

Dane są ciągi wielomianów $ (P_n) $, $ (Q_n) $ określone, jak następuje:

\[<br />
\begin{split}<br />
P_0 = Q_0 &= 1, \\<br />
P_n(x) &= P_{n-1}(x) + x^{2^{n-1}}\cdot Q_{n-1}(x),\\<br />
Q_n(x) &= P_{n-1}(x) - x^{2^{n-1}} \cdot Q_{n-1}(x).<br />
\end{split}<br />
\]

Niech $ a_n $ będzie liczbą współczynników wielomianu $ P_n $ równych 1. Udowodnić, że istnieje granica $ \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{2^n} $ i obliczyć ją.

Rozwiązanie

Z określenia wielomianów $ P_n $ i $ Q_n $ wynika, że dla $ n \geq 1 $ każdy z nich ma stopień $ 2^n - 1 $ oraz każdy ze współczynników tych wielomianów jest równy $ 1 $ lub $ -1 $. Jeżeli więc $ a_n $ współczynników wielomianu $ P_n $ jest równych $ 1 $, a $ b_n $ współczynników tego wielomianu jest równych $ -1 $, to

\[<br />
a_n + b_n = 2^n,\ a_n-b_n = P_n(1).<br />
\]

Dodając te równości stronami otrzymujemy, że

\[<br />
(1) \qquad a_n = \frac{1}{2}(2^n + P_n(1)).<br />
\]

Ze wzorów podanych w zadaniu wynika, że

\[<br />
P_n(1) = P_{n-1}(1) + Q_{n-1}(1)\ \textrm{i}\ Q_n(1) = P_{n-1}(1)- Q_{n-1}(1)<br />
\]

dla $ n \geq 1 $. Wobec tego

\[<br />
P_{n+1}(1) = P_n(1) + Q_n(1) = 2P_{n-1}(1).<br />
\]

Ponieważ $ P_0 = Q_0 = 1 $, więc $ P_1(1) = 2 $. Wynika stąd przez łatwą indukcję, że $ P_{2k-1} (1) = P_{2k} (1) = 2^k $ dla $ k \geq 0 $. Zatem

\[<br />
P_n(1) \leq 2^{\frac{1}{2} (n+1)} = (\sqrt{2})^{n+1} < 2(\sqrt{2})^n\  \textrm{dla} \ n \geq 0.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
0 < \frac{P_n(1)}{2^n} < 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^n.<br />
\]

Na mocy twierdzenia o trzech ciągach wynika stąd, że ciąg $ \left( \frac{P_n(1)}{2^n} \right) $ dąży do zera, ponieważ $ 0 < \frac{\sqrt{2}}{2}       < 1 $ oraz $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^n = 0 $. Z (1) otrzymujemy $ \frac{a_n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{P_n(1)}{2^n} $. Na mocy powyższego ciąg $ \left( \frac{a_n}{2^n} \right) $ jest więc zbieżny do $ \frac{1}{2} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź