XXX OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba dodatnia $ p $ oraz trzy różne półproste $ OA^{\rightarrow} $, $ OB^{\rightarrow} $, $ OC^{\rightarrow} $ zawarte w płaszczyźnie. Udowodnić, że istnieje dokładnie jedna taka trójka punktów $ K, L, M $, że $ K\in OA^{\rightarrow} $, $ L \in OB^{\rightarrow} $, $ M\in OC^{\rightarrow} $ i obwód każdego z trójkątów $ OKL $, $ OLM $, $ OMK $ jest równy $ 2p $.

Rozwiązanie

Aby istniały trójkąty, o których jest mowa w zadaniu, należy oczywiście założyć, że żadne dwie z danych półprostych nie są zawarte w jednej prostej.

Zauważmy najpierw, że jeżeli punkty $ P $ i $ Q $ należą do różnych ramion kąta o wierzchołku $ O $ i punkt $ Q $ oddala się od $ O $, to obwód trójkąta $ OPQ $ rośnie nieograniczenie. Istotnie, niech punkt $ Q $ leży między punktami $ O $ i $ Q' $ (rys. 9).
om30_1r_img_9.jpg
Wtedy $ PQ < QQ' + PQ' $ i wobec tego

\[<br />
OP + OQ + PQ < OP + OQ + QQ' + PQ' = OP + OQ' + PQ',<br />
\]

tzn. obwód trójkąta $ OPQ $ jest mniejszy niż obwód trójkąta $ OPQ' $. Ponadto obwód trójkąta $ OPQ' $ będzie dowolnie duży, jeżeli tylko obierzemy odpowiednio punkt $ Q' $ na półprostej $ OQ^\to $.

Niech liczba $ x $ spełnia $ O<x<p $. Niech $ K(x) $ będzie takim punktem półprostej $ OA^\to $ że $ OK(x) = x $. Taki punkt jest tylko jeden. Następnie niech $ L(x) \in OB^\to $ i $ M(x) \in OC^\to $ będą takimi, punktami, że obwód każdego z trójkątów $ OK(x)L(x) $ oraz $ OK(x) M(x) $ jest równy $ 2p $. Na mocy początkowej uwagi warunki te wyznaczają jednoznacznie punkty $ L(x) $ i $ M(x) $.

Ponieważ

\[<br />
OK(x) + OL(x) + K(x) L(x) = 2p \ \textrm{i} \ OK(x) + OM(x) + + K(x) M(x) = 2p,<br />
\]

więc gdy $ x \to 0 $, to $ OK(x) \to 0 $, $ OL(x) \to p $, $ K (x) L (x) \to p $, $ OM (x) \to p $, $ K (x) M (x) \to p $.

Podobnie, gdy $ x \to p $, to $ OK(x) \to p $, $ OL(x) \to 0 $, $ K(x)L(x) \to p $, $ OM(x) \to 0 $, $ K(x)M(x) \to p $.

Wobec tego, gdy $ x \to 0 $, to obwód trójkąta $ OL(x)M(x) $ dąży do granicy większej od $ 2p $, a gdy $ x \to p $, to ten obwód dąży do zera. Ponieważ obwód ten jest funkcją ciągłą zmiennej $ x $, więc dla pewnego $ x = x_0 $ z przedziału $ (0, p) $ obwód trójkąta $ OL(x_0) M(x_0) $ jest równy $ 2p $.

Zatem punkty $ K = K(x_0) $, $ L= L(x_0) $, $ M = M(x_0) $ spełniają warunki zadania.

Udowodnimy, że taka trójka punktów jest tylko jedna. Gdyby również punkty $ K' \in OA^\to $, $ L' \in OB^\to $, $ M' \in OC^\to $ spełniały warunki zadania i na przykład $ OK < OK' $, to z początkowej uwagi wynika, że $ OL > OL' $ i $ OM > OM' $. Wtedy jednak obwód trójkąta $ OLM $ byłby mniejszy niż obwód trójkąta $ OL'M' $. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że istnieje tylko jedna trójka punktów spełniająca warunki zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź