XXX OM - I - Zadanie 12

Aby zakwalifikować się do kadry, zawodnik musi przejść z pozytywnym wynikiem przez co najmniej cztery spośród siedmiu testów. Jeśli będzie się przygotowywał do wszystkich testów, to prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w każdym z tych testów jest jednakowe i równe $ \frac{1}{2} $. Jeśli będzie się przygotowywał do pięciu testów, to odpowiednie prawdopodobieństwo odniesienia sukcesu w każdym z tych pięciu testów będzie równe $ \frac{3}{4} $. Jeśli zaś będzie się przygotowywał do czterech testów, to prawdopodobieństwo odniesienia sukcesu w każdym z tych czterech testów wyniesie $ \frac{4}{5} $. Który z trzech wymienionych sposobów przygotowywania się jest najkorzystniejszy dla zawodnika?

Rozwiązanie

Oczywiście jeżeli zawodnik nie przygotowuje się do pewnego testu to do tego testu nie przystępuje.

Rozpatrzmy najpierw przypadek, gdy zawodnik przygotowuje się do wszystkich siedmiu testów. Prawdopodobieństwo uzyskania jakiegokolwiek ciągu siedmiu wyników (sukcesów lub niepowodzeń) w tych testach jest jednakowe i wynosi $ \displaystyle \binom{1}{2}^7 $. Przy tym zawodnik zakwalifikuje się do kadry (zdarzenie sprzyjające), jeżeli w tym ciągu będzie co najmniej cztery razy występował sukces. Wobec tego liczba zdarzeń sprzyjających jest równa liczbie podzbiorów co najmniej czteroelementowych zbioru siedmioelementowego. Liczba ta jest równa $ \displaystyle \binom{7}{4} + \binom{7}{5} + \binom{7}{6} + \binom{7}{7} = 64 $. Zatem prawdopodobieństwo zakwalifikowania się do kadry w tym przypadku wynosi $ \displaystyle \binom{7}{4}^7 \cdot 64 = \frac{1}{2} $.

Jeżeli zawodnik przygotowuje się do pięciu testów, to zdarzenie będzie sprzyjające, gdy w czterech testach odniesienie sukces, a w jednym będzie miał niepowodzenie, lub gdy odniesie pięć razy sukces. Prawdopodobieństwo zdarzenia pierwszego rodzaju jest równe $ \displaystyle \binom{3}{4}^4 \cdot \frac{1}{4} $, a liczba takich zdarzeń jest równa $ 5 $ (niepowodzenie może wystąpić w jednym z pięciu testów). Prawdopodobieństwo zdarzenia drugiego rodzaju wynosi $ \displaystyle \binom{3}{4}^5 $ i zdarzenie takie jest tylko jedno. Zatem prawdopodobieństwo zakwalifikowania się do kadry w tym przypadku wynosi $ \displaystyle \binom{3}{4}^4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 5 + \binom{3}{4}^5 = \frac{81}{128} $. Wreszcie, jeżeli zawodnik przygotowuje się tylko do czterech testów, to prawdopodobieństwo dostania się do kadry jest równe $ \displaystyle \binom{4}{5}^4 = \frac{256}{625} $.

Z liczb $ \displaystyle \frac{1}{2} $, $ \displaystyle \frac{81}{128} $, $ \displaystyle \frac{256}{625} $ liczba $ \displaystyle \frac{81}{128} $ jest największa. Wobec tego najkorzystniej dla zawodnika jest przygotować się do pięciu testów.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź