XXX OM - II - Zadanie 1

Dane są punkty $ A $ i $ B $ na brzegu basenu o kształcie koła. Sportowiec ma dotrzeć z punktu $ A $ do punktu $ B $ idąc wzdłuż brzegu basenu lub płynąc w basenie; może przy tym wielokrotnie zmieniać sposób poruszania się. Jak powinien poruszać się sportowiec, aby dotrzeć z punktu $ A $ do $ B $ w najkrótszym czasie, o ile wiadomo, że porusza się on w wodzie dwa razy wolniej niż na lądzie?

Rozwiązanie

Niech promień basenu ma długość $ r $, a łuk $ \widehat{AB} $ odpowiada kątowi środkowemu $ \alpha $, gdzie $ 0 < \alpha \leq \pi $. Wtedy długość łuku $ \widehat{AB} $ jest równa $ r\alpha $, a długość odcinka $ \overline{AB} $ jest równa (rys. 10)
om30_2r_img_10.jpg

\[<br />
(1) \qquad AB = 2AC = 2r \sin \frac{\alpha}{2}.<br />
\]

Udowodnimy, że $ r\alpha < 2AB $. Wyniknie stąd, że poruszając się po łuku $ \widehat{AB} $ sportowiec szybciej dotrze z punktu $ A $ do $ B $, niż gdyby się poruszał po odcinku $ AB $. A więc powinien iść wzdłuż brzegu basenu, a nie płynąć w basenie.

Na mocy (1) nierówność $ r\alpha < 2 AB $, którą mamy udowodnić, jest równoważna następującej

\[<br />
(2) \qquad \alpha < 4 \sin \frac{\alpha}{2} \ \textrm{dla} 0 < \alpha \leq \pi.<br />
\]

Ze znanego wzoru $ \beta < \tan \beta $ dla $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $ wynika w szczególności, że

\[<br />
(3) \qquad  \frac{\alpha}{4} < \tan \frac{\alpha}{4} \ \textrm{dla} \ 0 < \alpha \leq \pi.<br />
\]

Ponieważ $ \displaystyle 0 < \tan \frac{\alpha}{4} \leq 1 $, więc korzystając ze wzoru połówkowego otrzymujemy

\[<br />
(4) \qquad \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{4}}{1+ \tan^2 \frac{\alpha}{4}} \geq \frac{2 \tan \frac{\alpha}{4}}{1+ 1}  = \tan \frac{\alpha}{4} > \frac{\alpha}{4}<br />
\]

na mocy (3). Wynika stąd nierówność (2).
om30_2r_img_11.jpg
Uwaga. Podzielmy dany kąt $ \alpha $ na cztery równe części prostymi $ OC $, $ OD $, $ OE $ i niech $ AC \bot OA $, $ CE \bot OD $, $ BE \bot OB $ (rys. 11). Wtedy $ \displaystyle AC = CD = DE = EB = r \tan \frac{\alpha}{4} $. Długość łamanej $ ACDEB $ jest równa $ \displaystyle 4r \tan \frac{\alpha}{4} $. Nie przekracza więc ona na mocy (4) podwojonej długości odcinka $ \overline{AB} $ równej $ \displaystyle 4r \sin \frac{\alpha}{2} $. Zatem nawet idąc wzdłuż tej łamanej sportowiec dotrze z punktu $ A $ do $ B $ nie później, niż gdyby płynął w basenie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź