XXX OM - II - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli $ a, b, c $ są liczbami nieujemnymi, to

\[<br />
a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b).<br />
\]

Rozwiązanie

Mamy tożsamość

\[<br />
(a +b-c)(a-b + c)(-a + b + c) = -a^3 -b^3-c^3 -2abc + a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b).<br />
\]

Wobec tego dla rozwiązania zadania wystarczy udowodnić, że dla dowolnych liczb nieujemnych $ a $, $ b $, $ c $ zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad (a + b - c) (a - b + c) (-a + b + c) \leq abc.<br />
\]

Mamy

\[<br />
\begin{split}<br />
& (a + b - c) + ( a - b + c) = 2a \geq 0,\\<br />
& (a + b - c) + (-a + b + c) = 2b \geq 0,\\<br />
& (a - b + c) + (-a + b + c) = 2c \geq 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem co najwyżej jedna z liczb $ a + b-c $, $ a - b + c $, $ -a + b + c $ jest ujemna. Jeżeli dokładnie jedna z nich jest ujemna, to nierówność (1) zachodzi, ponieważ lewa jej strona jest $ \leq 0 $. Załóżmy więc, że wszystkie te liczby są nieujemne.

Ponieważ mamy $ \displaystyle uv \leq \left( \frac{u+v}{2} \right)^2 $ dla dowolnych liczb rzeczywistych $ u $, $ v $, więc

\[<br />
(a+b-c) (a-b + c) \leq a^2,<br />
\]
\[<br />
(a +b -c) (-a + b + c) \leq b^2,<br />
\]
\[<br />
(a -b + c)(-a + b + c) \leq c^2.<br />
\]

Mnożąc te nierówności stronami otrzymujemy

\[<br />
((a + b - c) (a - b + c) (-a + b + c))^2 \leq (abc)^2.<br />
\]

Wynika stąd nierówność (1), ponieważ w rozpatrywanym przypadku obie jej strony są liczbami nieujemnymi.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź