XXX OM - II - Zadanie 3

W przestrzeni dana jest prosta $ k $ oraz sześcian o wierzchołku $ M $ i krawędziach $ \overline{MA} $, $ \overline{MB} $, $ \overline{MC} $, długości 1. Udowodnić, że długość rzutu prostokątnego krawędzi $ MA $ na prostą $ k $ jest równa polu rzutu prostokątnego kwadratu o bokach $ MB $ i $ MC $ na płaszczyznę prostopadłą do prostej $ k $.

Rozwiązanie

Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że prosta $ k $ przechodzi przez punkt $ M $ (rys. 12) i że rozważana płaszczyzna $ \pi $ prostopadła do prostej $ k $ też zawiera punkt $ M $. Niech $ A' $ będzie rzutem prostokątnym punktu $ A $ na prostą $ k $.
om30_2r_img_12.jpg
Jak wiadomo, jeżeli dwie płaszczyzny przecinają się pod kątem $ \varphi $ i w jednej z nich zawarta jest figura o polu $ S $, to rzut prostokątny tej figury na drugą płaszczyznę ma pole $ S \cdot \cos \varphi $.

Niech w naszym zadaniu kąt między płaszczyznami $ \pi $ i $ MBC $ będzie równy $ \varphi $. Wtedy również kąt między prostymi prostopadłymi do tych płaszczyzn będzie równy $ \varphi $, tzn. $ \measuredangle AMA' = \varphi $.

Pole kwadratu o bokach $ \overline{MB} $ i $ \overline{MC} $ jest równe $ 1 $. Wobec tego pole rzutu tego kwadratu na płaszczyznę $ \pi $ będzie równe $ \cos \varphi $. Z drugiej strony mamy $ MA' = MA \cdot \cos \varphi = \cos \varphi $. Wynika stąd teza zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź