XXX OM - II - Zadanie 4

Niech $ S_k $ będzie symetrią płaszczyzny względem prostej $ k $. Udowodnić, że dla każdych prostych $ a, b, c $ zawartych w jednej płaszczyźnie zachodzi równość

\[<br />
S_aS_bS_cS_aS_bS_cS_bS_cS_aS_bS_cS_a = S_bS_cS_aS_bS_cS_aS_aS_bS_cS_aS_bS_c<br />
\]

Rozwiązanie

Jak wiadomo, każda izometria płaszczyzny będąca złożeniem nieparzystej liczby symetrii osiowych jest symetrią z poślizgiem. Jeżeli $ S $ jest symetrią z poślizgiem, to $ S^2 $ jest przesunięciem.

Wobec tego izometrie

\[<br />
T = S_aS_bS_c \cdot S_aS_bS_c \ \textrm{oraz} \ U = S_bS_cS_a \cdot S_bS_cS_a<br />
\]

są przesunięciami. Złożenie dwóch przesunięć nie zależy od ich kolejności: $ TU = UT $. Jest to właśnie równość, którą mieliśmy udowodnić.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź