LVIII OM - I - Zadanie 1

Zadanie 1.

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $ x $, $ y $, $ z $ układ równań

\[<br />
\begin{cases}<br />
x^2+2yz+5x=2 \\<br />
y^2+2zx+5y=2 \\<br />
z^2+2xy+5z=2 \\<br />
\end{cases}<br />
\]

Rozwiązanie

Odejmując drugie równanie układu od pierwszego dostajemy

\[<br />
\begin{split}<br />
0 &= x^2+2yz+5x-y^2-2zx-5y=(x^2-y^2)+2z(y-x)+5(x-y)= \\<br />
&=(x-y)(x+y-2z+5). \\<br />
\end{split}<br />
\]

Podobnie odejmując trzecie równanie od pierwszego uzyskujemy równanie $ 0=(x-z)(x+z-2y+5) $. Zatem dany w treści zadania układ równań jest równoważny układowi

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{cases}<br />
x^2+2yz+5x=2 \\<br />
(x-y)(x+y-2z+5)=0 \\<br />
(x-z)(x+z-2y+5)=0 \\<br />
\end{cases}<br />
\]

Iloczyn dwóch liczb jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Wobec tego układ (1) jest równoważny następującej alternatywie czterech układów:

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{cases}<br />
x^2+2yz+5x=2 \\<br />
x-y=0 \\<br />
x-z=0<br />
\end{cases}<br />
\quad\hbox{lub}\quad<br />
\begin{cases}<br />
x^2+2yz+5x=2 \\<br />
x-y=0 \\<br />
x+z-2y+5=0<br />
\end{cases}<br />
\quad\hbox{lub}<br />
\]
\[<br />
\begin{cases}x^2+2yz+5x=2 \\<br />
x+y-2z+5=0 \\<br />
x-z=0<br />
\end{cases}<br />
\quad\hbox{lub}\quad<br />
\begin{cases}<br />
x^2+2yz+5x=2 \\<br />
x+y-2z+5=0 \\<br />
x+z-2y+5=0.<br />
\end{cases}<br />
\]

W pierwszym z układów (2) drugie i trzecie równanie prowadzą do wniosku, że $ x=y=z $. Wykorzystując tę zależność w pierwszym równaniu tego układu otrzymujemy równanie kwadratowe $ 3x^2+5x=2 $, które ma dwa rozwiązania: $ x=-2 $ oraz $ x={1\over 3} $. Zatem rozważany układ równań ma dwa rozwiązania: $ (-2,-2,-2) $ i $ ({1\over 3},{1\over 3},{1\over 3}) $.

Zbadajmy teraz drugi z układów (2). Drugie równanie tego układu oznacza, że $ x=y $; łącząc to z trzecim równaniem widzimy, że $ z=-x+2y-5=x-5 $. Zatem pierwsze równanie układu przyjmuje postać

$$2=x^2+2yz+5x=x^2+2x(x-5)+5x=3x^2-5x.$$

Równanie kwadratowe $ 3x^2-5x=2 $ ma rozwiązania $ x=2 $ oraz $ x=-{1\over 3} $. To daje dwa rozwiązania badanego układu: $ (2,2,-3) $ i $ (-{1\over 3},-{1\over 3},-{16\over 3}) $.

Podobnie rozwiązujemy trzeci z układów (2), otrzymując rozwiązania $ (2,-3,2) $ oraz $ (-{1\over 3},-{16\over 3},-{1\over 3}) $.

Przejdźmy wreszcie do ostatniego z układów (2). Łącząc drugie i trzecie równanie widzimy, że $ y-2z=z-2y $, czyli $ y=z $. Wobec tego drugie równanie przybiera postać $ y=x+5 $, zaś pierwsze możemy zapisać jako

$$2=x^2+2yz+5x=(y-5)^2+2y^2+5(y-5)=3y^2-5y,$$

co po rozwiązaniu równania kwadratowego daje $ y=2 $ i $ y=-{1\over 3} $. W efekcie dostajemy dwa rozwiązania: $ (-3,2,2) $ oraz $ (-{16\over 3},-{1\over 3},-{1\over 3}) $.

Pozostaje na koniec przekonać się, że każda z wyznaczonych $ 8 $ trójek istotnie stanowi rozwiązanie danego w zadaniu układu równań.

Odpowiedź: Rozwiązaniami $ (x, y, z) $ danego układu równań są:

\[<br />
\begin{split}<br />
(-2,-2,-2),\quad (2,2,-3), \quad (2,-3, 2), \quad (-3,2,2),    \\<br />
(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}), \quad  (-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},-\frac{16}{3}), \quad<br />
(-\frac{1}{3},-\frac{16}{3},-\frac{1}{3}), \quad (-\frac{16}{3}, -\frac{1}{3}  ,-\frac{1}{3}).<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź