XXX OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że cztery proste łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe tym wierzchołkom mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy trzy iloczyny długości przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.

Rozwiązanie

Niech $ ABCD $ będzie danym czworościanem, a punkty $ P $ i $ Q $ odpowiednio - środkami kół wpisanych w ściany $ ABC $ i $ ABD $ (rys. 15).
om30_3r_img_15.jpg
Niech $ R' $ i $ R'' $ odpowiednio będą punktami przecięcia prostej $ AB $ z prostymi $ CP $ i $ DQ $. Ponieważ środek koła wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych jego kątów, więc $ \overline{CR'} $ jest dwusieczną kąta $ \measuredangle ACB $, a $ \overline{DR''} $ jest dwusieczną kąta $ \measuredangle ADB $. Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków. Wobec tego

\[<br />
\frac{AR'}{BR'} = \frac{AC}{BC} \ \textrm{i} \ \frac{AR''}{BR''} = \frac{AD}{BD}<br />
\]

Zatem $ R' = R'' $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD} $.

Proste $ DP $ i $ CQ $ mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $ C $, $ D $, $ P $, $ Q $ należą do jednej płaszczyzny, to znaczy, gdy proste $ CP $ i $ DQ $ mają punkt wspólny, a więc, gdy $ R' = R'' $.

Dowiedliśmy więc, że proste $ m_C $ i $ m_D $ łączące wierzchołki $ C $ i $ D $ odpowiednio ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy $ AC \cdot BD = BC \cdot AD $.

Analogicznie dowodzimy, że podobne proste $ m_B $ i $ m_C $ poprowadzone z wierzchołków $ B $ i $ C $ odpowiednio mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy $ AB \cdot DC = DB \cdot AC $; również proste $ m_A $ i $ m_E $ mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy $ AC \cdot BD = BC \cdot AD $ itd.

Jeżeli więc proste $ m_A $, $ m_B $, $ m_C $, $ m_D $ mają punkt wspólny, to

\[<br />
(1) \qquad AC \cdot BD = BC \cdot AD = AB \cdot DC.<br />
\]

Na odwrót, jeżeli zachodzą równości (1), to każda para prostych spośród $ m_A $, $ m_B $, $ m_C $, $ m_D $ ma punkt wspólny. Gdyby na przykład punkty przecięcia prostej $ m_C $ z prostymi $ m_A $ i $ m_B $ były różne, to prosta $ m_C $ byłaby zawarta w płaszczyźnie wyznaczonej przez przecinające się proste $ m_A $ i $ m_B $. Jest to niemożliwe, ponieważ płaszczyzna zawierająca punkty $ A $, $ B $ i $ C $ nie zawiera żadnej z tych prostych. Zatem prosta $ m_C $ przecina każdą z prostych $ m_A $, $ m_B $, $ m_D $ w tym samym punkcie. Wszystkie te cztery proste mają więc punkt wspólny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź