XXX OM - III - Zadanie 3

Doświadczenie polega na wykonaniu $ n $ niezależnych prób. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku w $ i $-tej próbie wynosi $ p_i $. Niech $ r_k $ będzie prawdopodobieństwem tego, że dokładnie $ k $ prób da wynik pozytywny. Udowodnić, że

\[<br />
\sum_{i=1}^n p_i = \sum_{k=0}^n kr_k.<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ \{1,2, \ldots,n\} = A_k \cup B_k $, gdzie $ A_k = \{i_1, i_2, \ldots, i_k \} $ i $ B_k = \{i_{k+1}, i_{k+2}, \ldots, i_n \} $, będzie rozkładem zbioru $ \{1, 2, \ldots, n \} $ na sumę zbioru $ k $-elementowego i $ (n-k) $-elementowego.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że próby o numerach $ i_1, i_2, \ldots,i_k $ dały wynik pozytywny, a pozostałe próby - wynik negatywny, jest równe

\[<br />
p_{i_1} p_{i_2}  \ldots p_{i_k} (1 - p_{i_{k+1}}) (1-p_{i_{k+2}}) \ldots (1-p_{i_n}).<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
(1) \qquad r_k = \sum_{A_k} p_{i_1} p_{i_2} \ldots p_{i_k} (1 -p_{i_{k+1}})(1 - p_{i_{k+2}}) \ldots (1 - p_{i_n}),<br />
\]

gdzie sumowanie jest ze względu na wszystkie podzbiory $ k $-elementowe $ A_k = \{ i_1, i_2, \ldots, i_k\} $ zbioru $ \{1, 2, \ldots, n\} $.

Rozpatrzmy wielomian

\[<br />
(2) \qquad w(x) = (p_1x + (1-p_1))(p_2x + (1-p_2)) \ldots (p_nx + (1-p_n)).<br />
\]

Wymnażając zewnętrzne nawiasy na mocy (1) otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad w(x) = r_nx^n + r_{n-1} x^{n-1} + \ldots + r_1x + r_0.<br />
\]

Dbliczamy pochodną wielomianu w korzystając ze wzoru (2):

\[<br />
w'(x)= \sum_{i=1}^n \frac{p_iw(x)}{p_ix + (1-p_i)}.<br />
\]

Wobec tego $ w' (1) = \sum_{i=1}^n p_i $, ponieważ $ w(1) = 1 $ na mocy (2).

Z drugiej strony obliczamy pochodną wielomianu w korzystając ze wzoru (3):

\[<br />
w' (x) = nr_nx^{n-1} + (n - 1)r_{n-1}x^{n-2} + \ldots + 2r_2x + r_1,<br />
\]

i stąd

\[<br />
w'(1) = \sum_{k=1}^n kr_k.<br />
\]

Porównując otrzymane wartości na $ w' $ (1) otrzymujemy tezę zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź