XXX OM - III - Zadanie 4

Dane są liczby rzeczywiste $ A > 1 $ i $ B > 1 $ oraz ciąg $ (x_n) $ liczb rzeczywistych z przedziału [1, A\cdot B] Dowieść, że istnieje taki ciąg $ (y_n) $ liczb z przedziału $ [1, A] $, że

\[<br />
\frac{x_m}{x_n} \leq B \cdot \frac{y_m}{y_n} \quad \text{ dla }\quad m,n = 1,2,\ldots .<br />
\]

Rozwiązanie

Nierówność podana w zadaniu jest równoważna następującej

\[<br />
(1) \qquad \frac{x_m}{y_m} \leq B \cdot \frac{x_n}{y_n} \ \textrm{dla}\  m, n = 1, 2, \ldots .<br />
\]

Zauważmy, że jeżeli

\[<br />
(2) \qquad 1 \leq \frac{x_k}{y_k} \leq B \ \textrm{dla}\  k = 1, 2, \ldots ,<br />
\]

to będzie spełniona nierówność (1). Istotnie, z (2) wynika, że

\[<br />
\frac{x_m}{y_m} \leq B = B \cdot 1 \leq B \cdot \frac{x_n}{y_n} \ \textrm{dla}\  m, n = 1, 2, \ldots .<br />
\]

Dla rozwiązania zadania wystarczy więc znaleźć taki ciąg $ (y_k) $, by $ 1 \leq y_k \leq A $ oraz, by był spełniony warunek (2), tzn. $ \frac{x_k}{B} \leq y_k \leq x_k $. Istnieje liczba $ y_k $ spełniająca oba te warunki, ponieważ $ 1 \leq x_k $ oraz $ \frac{x_k}{B} \leq A $ na mocy warunków zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź