XXX OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że iloczyn długości boków czworokąta wypukłego wpisanego w koło o promieniu długości 1 jest nie większy od 4.

Rozwiązanie

Niech $ ABC $ będzie trójkątem wpisanym w koło i niech $ B' $ będzie środkiem łuku $ \widehat{ABC} $ (rys. 16).
om30_3r_img_16.jpg
Udowodnimy, że $ AB \cdot BC \leq AB' \cdot  B'C $.

Pole $ S_{ABC} $ trójkąta $ ABC $ jest nie większe od pola $ S_{AB'C} $ trójkąta $ AB'C $ ponieważ odległość punktu $ B $ od prostej $ AC $ jest nie większa od odległości punktu $ B' $ od tej prostej. Kąty $ \measuredangle ABC $ i $ \measuredangle AB'C $ mają równe miary, ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Przyjmijmy $ \measuredangle ABC = \varphi $. Mamy więc

\[<br />
S_{ABC}= \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \varphi,\ S_{AB'C} = \frac{1}{2} AB' \cdot B'C \sin \varphi.<br />
\]

Wobec tego $ AB \cdot BC \leq AB' \cdot B'C $.

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Niech $ ABCD $ będzie czworokątem wpisanym w koło o promieniu długości $ 1 $. Niech $ B' $ i $ D' $ będą odpowiednio środkami łuków $ \widehat{ABC} $ i $ \widehat{ADC} $. Wtedy $ \overline{B'D} $ jest średnicą danego koła prostopadłą do cięciwy $ \overline{AC} $.

Na mocy początkowej uwagi mamy

\[<br />
(1) \qquad AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA \leq AB' \cdot B'C \cdot CD' \cdot D'A.<br />
\]

Z kolei niech $ A' $ i $ C' $ będą odpowiednio środkami łuków $ \widehat{B'AD} $
oraz $ \widehat{B'CD'} $. Wtedy $ \overline{A'C'} $ jest średnicą danego koła prostopadłą średnicy $ \overline{B'D'} $. Na mocy początkowej uwagi mamy

\[<br />
(2) \qquad D'A \cdot AB' \cdot B'C \cdot CD' \leq D'A' \cdot A'B' \cdot B'C' \cdot C'D'.<br />
\]

Ponieważ przekątne $ \overline{A'C'} $ i $ \overline{B'D'} $ czworokąta $ A'B'C'D' $ są prostopadłe i równe, więc jest on kwadratem. Kwadrat wpisany w koło o promieniu długości $ 1 $ ma bok długości $ \sqrt{2} $ Zatem $ A'B' = B'C' = C'D' = D'A' = \sqrt{2} $. Z (1) i (2) wynika więc, że

\[<br />
AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA \leq (\sqrt{2})^4 = 4.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź