XXX OM - III - Zadanie 6

Wielomian $ w $ stopnia $ n $ ($ n>1 $) ma $ n $ różnych pierwiastków Wnczywistych $ x_1, x_2, \ldots, x_n $. Udowodnić, że

\[<br />
\frac{1}{w'(x_1)} + \frac{1}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{1}{w'(x_n)} = 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Z założenia wynika, że

\[<br />
(1) \qquad w(x)=a(x-x_1)(x-x_2) \ldots (x-x_n),\ \textrm{gdzie} \ a \ne 0.<br />
\]

Dla $ i = 1, 2, \ldots, n $ niech $ w_i(x) $ będzie wielomianem $ \displaystyle \frac{w(x)}{x-x_i} $ , to znaczy wielomianem powstającym z $ w(x) $ przez wykreślenie czynnika $ x - x_i $ w przedstawieniu (1).

Ponieważ liczby $ x_1, x_2, \ldots,x_n $ są różne, więc $ w_i(x_i) \ne 0 $
dla $ i=1,2,\ldots, n $ oraz oczywiście $ w_i(x_j) = 0 $ dla $ i \ne j $.

Obliczając pochodną wielomianu $ w(x) $ otrzymujemy

\[<br />
w'(x) = w_1(x) + w_2(x) + \ldots + w_n(x).<br />
\]

Wobec tego $ w'(x_i) = w_i(x_i) $ dla $ i = 1, 2, \ldots, n $.

Rozpatrzmy wielomian

\[<br />
(2) \qquad F(x)= \frac{w_1(x)}{w'(x_1)} + \frac{w_2(x)}{w'(x_2)} + \ldots \frac{w_n(x)}{w'(x_n)} - 1.<br />
\]

Stopień wielomianu $ F $ nie przekracza $ n-1 $, ponieważ każdy z wielomianów $ w_1, w_2,\ldots,w_n $ ma stopień $ n-1 $. Mamy też dla $ i = 1,2, \ldots, n $

\[<br />
F(x_i) = \sum_{j=1}^{n} \frac{w_j(x_i)}{w'(x_j)} - 1= \frac{w_i(x_i)}{w'(x_i)} - 1=0.<br />
\]

Wielomian $ F $ ma więc co najmniej $ n $ pierwiastków. Liczba pierwiastków wielomianu niezerowego nie przekracza jego stopnia. Wobec tego $ F $ jest wielomianem zerowym. W szczególności współczynnik przy $ x^{n-1} $ w wielomianie $ F $ jest równy zeru.

Ponieważ = $ w_i(x) =a x^{n-1} + \ldots $ i $ n > 1 $, więc współczynnik przy $ x^{n-1} $ w wielomianie $ F $ na mocy (2) jest równy,

\[<br />
\frac{a}{w'(x_1)} + \frac{a}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{a}{w'(x_n)}.<br />
\]

Wynika stąd teza zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź