LVIII OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych $ k $, $ m $, dla których każda z liczb $ {k^2+4m} $, $ {m^2+5k} $ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Sposób I

Przypuśćmy, że para $ (k,m) $ spełnia warunki zadania.

Jeżeli prawdziwa jest nierówność $ m\geq k $, to

$$(m+3)^2=m^2+6m+9>m^2+5m\geq m^2+5k>m^2,$$

a ponieważ $ m^2+5k $ jest kwadratem liczby całkowitej, więc wynika stąd, że musi zachodzić jedna z równości $ m^2+5k=(m+1)^2 $ lub $ m^2+5k=(m+2)^2 $.

Jeżeli $ m^2+5k=(m+1)^2=m^2+2m+1 $, to $ 2m=5k-1 $ i na mocy warunków zadania liczba $ k^2+4m=k^2+2(5k-1)=k^2+10k-2 $ ma być kwadratem liczby całkowitej. Mamy $ k^2+10k-2< k^2+10k+25=(k+5)^2 $, zatem spełniona jest zależność

\[<br />
k^2+10k-2\leq (k+4)^2=k^2+8k+16,<br />
\]

z której otrzymujemy $ 2k\leq 18 $ i $ k\le 9 $. Uwzględniając równość $ 2m=5k-1 $ widzimy, że $ k $ musi być liczbą nieparzystą. Bezpośrednim rachunkiem sprawdzamy, że wartości wyrażenia $ k^2+10k-2 $ dla $ k=1 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $, $ 9 $ są odpowiednio równe 9, 37, 73, 117, 169. Uzyskujemy kwadraty liczb całkowitych jedynie dla $ k=1 $ i $ k=9 $; odpowiadające wartości $ m={1\over 2}(5k-1) $ wynoszą 2 i 22.

Jeżeli $ m^2+5k=(m+2)^2=m^2+4m+4 $, to $ 4m=5k-4 $, zatem liczba $ k^2+4m=k^2+5k-4 $ jest kwadratem liczby całkowitej. Nierówność

\[<br />
k^2+5k-4<k^2+6k+9=(k+3)^2<br />
\]

dowodzi, że $ k^2+5k-4\leq (k+2)^2=k^2+4k+4 $, co daje $ k\le 8 $. Ponadto liczba $ m={5\over 4}k-1 $ jest całkowita, więc liczba $ k $ jest podzielna przez $ 4 $. Wyrażenie $ k^2+5k-4 $ dla wartości $ k=4 $, $ 8 $ przyjmuje odpowiednio wartości 32, 100 i tylko dla $ k=8 $ otrzymujemy kwadrat liczby całkowitej; odpowiadającą wartością $ m={5\over 4}k-1 $ jest 9.

Pozostał do rozpatrzenia przypadek $ m<k $. Wówczas możemy napisać

\[<br />
(k+2)^2=k^2+4k+4>k^2+4k>k^2+4m>k^2<br />
\]

i z uwagi na to, że $ k^2+4m $ jest kwadratem liczby całkowitej, uzyskujemy zależność $ k^2+4m=(k+1)^2=k^2+2k+1 $, czyli $ 2k=4m-1 $. Ta równość nie może jednak być prawdziwa, bowiem jej lewa strona jest liczbą parzystą, a prawa - nieparzystą. Wobec tego w tym przypadku nie ma rozwiązań.

Wystarczy już tylko wykonać bezpośrednie sprawdzenie, że otrzymane trzy pary istotnie spełniają warunki zadania.

Sposób II

Jeżeli para $ (k,m) $ spełnia warunki zadania, to liczba $ k^2+4m $ jest kwadratem liczby całkowitej większej od $ k $ i tej samej parzystości, co liczba $ k $. Możliwe są zatem następujące trzy przypadki:

  1. $ k^2+4m=(k+2)^2 $.
  2. $ k^2+4m=(k+4)^2 $.
  3. $ k^2+4m\ge(k+6)^2 $.

Rozpatrzmy po kolei powyższe trzy możliwości:

  1. Przypadek 1.
    Równość $ k^2+4m=(k+2)^2 $ oznacza, że $ m=k+1 $. Ponadto liczba $ m^2+5k=(k+1)^2+5k=k^2+7k+1 $ jest, na mocy warunków zadania, kwadratem liczby całkowitej. Z nierówności

    \[<br />
(k+1)^2<(k+1)^2+5k=k^2+7k+1<k^2+8k+16=(k+4)^2<br />
\]

    wynika, że $ k^2+7k+1=(k+2)^2 $ albo $ k^2+7k+1=(k+3)^2 $. Pierwsze z tych równań ma postać $ 7k+1=4k+4 $, skąd $ k=1 $ i $ m=2 $, zaś drugie równanie możemy przekształcić do postaci $ 7k+1=6k+9 $, co daje $ k=8 $ i $ m=9 $.

  2. Przypadek 2.

    W tej sytuacji ma miejsce równość $ m=2k+4 $. Jeżeli więc liczba $ m^2+5k=(2k+4)^2+5k=4k^2+21k+16 $ jest kwadratem liczby całkowitej, to z uwagi na nierówności

    \[<br />
(2k+4)^2<(2k+4)^2+5k=4k^2+21k+16<4k^2+24+36=(2k+6)^2<br />
\]

    stwierdzamy, że $ 4k^2+21k+16=(2k+5)^2 $, czyli $ 21k+16=20k+25 $. Zatem $ k=9 $ i $ m=2\cdot 9+4=22 $.

  3. Przypadek 3.

    Mamy wówczas $ 4m\ge(k+6)^2-k^2=12k+36 $. Z drugiej strony, zgodnie z założeniami zadania liczba $ m^2+5k $ jest kwadratem liczby całkowitej i wobec tego $ m^2+5k\ge(m+1)^2 $, czyli $ 5k\ge 2m+1 $. Stąd uzyskujemy

    \[<br />
4m\ge 12k+36>10k=2\cdot 5k\ge 2(2m+1)=4m+2>4m.<br />
\]

    Otrzymana sprzeczność wskazuje, że w przypadku 3. nie ma rozwiązań i pozostaje jeszcze tylko upewnić się, że trzy pary wyznaczone w przypadkach 1. i 2. istotnie są rozwiązaniami zadania.

  4. Odpowiedź: Żądaną własność mają następujące pary $ (k,m) $:

    \[<br />
(1,2),\quad (8,9),\quad (9,22).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź