XXIX OM - I - Zadanie 1

Ciąg liczb $ (p_n) $ określony jest następująco: $ p_1 = 2 $, $ p_n $ jest największym dzielnikiem pierwszym sumy $ p_1p_2\ldots p_{n-1} + 1 $. Dowieść, że w ciągu $ (p_n) $ nie wystąpi liczba 5.

Rozwiązanie

Mamy $ p_1 = 2 $ oraz $ p_2 = 3 $, ponieważ $ p_2 $ jest największym dzielnikiem pierwszym liczby $ p_1+ 1=3 $. Wobec tego dla $ n > 2 $ liczba $ p_1p_2\ldots p_{n-1}+1 = 6p_3 \ldots p_n +1 $ nie jest podzielna ani przez $ 2 $, ani przez $ 3 $. Gdyby więc dla pewnej liczby naturalnej $ n $ największy dzielnik pierwszy liczby $ p_1p_2  \ldots  p_{n-1} + 1 $ był równy $ 5 $, to byłby to jej jedyny dzielnik pierwszy, tzn. byłaby ona równa $ 5^r $ dla pewnego $ r \geq 1 $. Zatem

\[<br />
(1) \qquad 6p_3 \ldots p_{n-1} = 5^r-1.<br />
\]

Liczba $ 5^r - 1 $ jest podzielna przez liczbę $ 5-1=4 $. Wobec tego z (1) wynika, że $ p_k = 2 $ dla pewnego $ k \geq 3 $. Jest to niemożliwe, ponieważ liczba $ p_k $ na mocy określenia jest dzielnikiem liczby $ p_1p_2 \ldots p_{k-1} + 1 = 2p_2  \ldots  p_{k-1} + 1 $, a ta jest nieparzysta.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że w ciągu $ (p_n) $ nie wystąpi liczba 5.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź