XXIX OM - I - Zadanie 3

Niech $ a, b, c, d $ będą długościami boków dowolnego czworokąta. Dowieść, że istnieje trapez, którego boki mają długości $ a, b, c, d $.

Rozwiązanie

Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że $ a \geq b \geq c \geq d $. Wtedy

\[<br />
(1) \qquad a + b \geq c + d \ \textrm{oraz} \  a + c \geq b + d.<br />
\]

Z równości $ a + b = c + d $ wynika, że $ (a - d) + (b - c) = 0 $ i stąd $ a = b = c = d $, a z równości $ a + c = b + d $, że $ (a - b) + (c - d) = 0 $ i stąd $ a = b $ i $ c = d $. Jeżeli więc w co najmniej jednej z nierówności (1) zachodzi równość, to $ a = b $ i $ c = d $. Wobec tego czworokąt o kolejnych bokach długości $ a $, $ c $, $ b $, $ d $ jest równoległobokiem, a więc tym bardziej - trapezem.

Załóżmy z kolei, że $ a + b>c + d $ oraz $ a + c>b + d $, czyli

\[<br />
(2) \qquad (a-d) + b>c \ \textrm{i} \   (a-d) + c> b.<br />
\]

Ponieważ $ b \geq c $, więc wynika stąd, że $ a - d > 0 $. Ponadto mamy $ a < b + c + d $, czyli

\[<br />
(3) \qquad a - d < b + c,<br />
\]

ponieważ w czworokącie długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości boków pozostałych.

Udowodniliśmy więc ((2) i (3)), że każda z liczb dodatnich $ b $, $ c $, $ a - d $ jest mniejsza od sumy liczb pozostałych. Istnieje więc trójkąt o bokach długości $ b $, $ c $, $ a - d $. Umieszczając przy nim równoległobok o bokach długości $ c $ i $ d $ (rys. 5) otrzymamy szukany trapez.
om29_1r_img_5.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź